According to my Nusach Ashkenaz Siddur, the Thirteen Middos are preceded by a passage beginning קל ארך אפים, whose text is as follows:
אֵ-ל אֶרֶךְ אַפַּיִם אַתָּה וּבַעַל הָרַחֲמִים נִקְרֵאתָ. וְדֶרֶךְ תְּשׁוּבָה הורֵיתָ. גְּדֻלַּת רַחֲמֶיךָ וַחֲסָדֶיךָ תִּזְכּור הַיּום וּבְכָל יום לְזֶרַע יְדִידֶיךָ. תֵּפֶן אֵלֵינוּ בְּרַחֲמִים. כִּי אַתָּה הוּא בַּעַל הָרַחֲמִים. בְּתַחֲנוּן וּבִתְפִלָּה פָּנֶיךָ נְקַדֵּם. כְּהודַעְתָּ לֶעָנָו מִקֶּדֶם. מֵחֲרון אַפְּךָ שׁוּב. כְּמו בְּתורָתְךָ כָּתוּב. וּבְצֵל כְּנָפֶיךָ נֶחְסֶה וְנִתְלונָן. כְּיום וַיֵּרֶד ה' בֶּעָנָן. תַּעֲבר עַל פֶּשַׁע וְתִמְחֶה אָשָׁם. כְּיום וַיִּתְיַצֵּב עִמּו שָׁם. תַּאֲזִין שַׁוְעָתֵנוּ וְתַקְשִׁיב מֶנּוּ מַאֲמַר. כְּיום וַיִּקְרָא בְשֵׁם ה' וְשָׁם נֶאֱמַר:
My Nusach Ashkenaz Selichos for fast days and Elul/Tishrei include this passage for the first time the Middos are said, while the following one is inserted each subsequent time:
אֵ-ל מֶלֶךְ יוֹשֵׁב עַל כִּסֵּא רַחֲמִים מִתְנַהֵג בַּחֲסִידוּת, מוֹחֵל עֲוֹנוֹת עַמּוֹ מַעֲבִיר רִאשׁוֹן רִאשׁוֹן, מַרְבֶּה מְחִילָה לְחַטָּאִים וּסְלִיחָה לַפּוֹשְׁעִים, עֹשֶׂה צְדָקוֹת עִם כָּל בָּשָׂר וָרוּחַ, לֹא כְרָעָתָם תִּגְמוֹל, אֵ-ל הוֹרֵיתָ לָּנוּ לוֹמַר שְׁלֹשׁ עֶשְׂרֵה, וּזְכָר לָנוּ הַיּוֹם בְּרִית שְׁלשׁ עֶשְׂרֵה, כְּהוֹדַעְתָּ לֶעָנָיו מִקֶּדֶם, כְּמוֹ שֶׁכָּתוּב וַיֵּרֶד ה׳ בֶּעָנָן וַיִּתְיַצֵּב עִמּוֹ שָׁם, וַיִּקְרָא בְשֵׁם ה׳:
My Nusach Ashkenaz Machzor for Yom Kippur includes this latter paragraph every time they’re mentioned. Why? Why isn’t the former paragraph mentioned the first time the Middos are recited during Selichos after Maariv and during Ne’ilah, the same way that they are during Selichos on other days?