The Shulhan Arukh (483:1) states that b'diavad one can rely on other beverages if they are hamar medinah. He is discussing a case where wine is not available:
מִי שֶׁאֵין לוֹ יַיִן בְּלֵיל פֶּסַח, מְקַדֵּשׁ עַל הַפַּת שֶׁמְּבָרֵךְ הַמּוֹצִיא וּבוֹצֵעַ, וּמַנִּיחַ יָדָיו עָלָיו עַד שֶׁגּוֹמֵר הַקִּדּוּשׁ, וּמְבָרֵךְ עַל אֲכִילַת מַצָּה, וְאוֹכֵל, וְאַחַר כָּךְ אוֹכֵל שְׁאָר יְרָקוֹת וּמְסַלֵּק הַשֻּׁלְחָן וְאוֹמֵר מַה נִּשְׁתַּנָּה וְכָל הַהַגָּדָה עַד גָּאַל יִשְׂרָאֵל, וּמְבָרֵךְ עַל הַמָּרוֹר, וְאוֹכֵל, וְאַחַר כָּךְ כּוֹרֵךְ מַצָּה וּמָרוֹר, וְאוֹכֵל. הַגָּה: בְּלֹא בְּרָכָה. וּבִמְקוֹמוֹת שֶׁנּוֹהֲגִים לִשְׁתּוֹת מַשְׁקֶה הַנַּעֲשֶׂה מִדְּבַשׁ שֶׁקּוֹרִין מע''ד, יָכוֹל לִקַּח אוֹתוֹ מַשְׁקֶה לְאַרְבַּע כּוֹסוֹת אִם אֵין לוֹ יַיִן (מַהֲרִי''ל). וְיֵשׁ אוֹמְרִים שֶׁאֵין עוֹשִׂין קִדּוּשׁ עַל שְׁאָר מַשְׁקִין, כְּמוֹ שֶׁנִּתְבָּאֵר לְעֵיל סי' ער''ב (סָעִיף ט'). וְלִי נִרְאֶה דִּלְעִנְיַן ד' כּוֹסוֹת יֵשׁ לִסְמֹךְ אַמַּאן דְּאָמַר דִּמְקַדְּשִׁין עַל שְׁאָר מַשְׁקִין אִם הוּא חֲמַר מְדִינָה, כְּמוֹ שֶׁנִּתְבָּאֵר לְעֵיל סִימָן ער''ב.
However, regarding the question of whether or not ill-feelings as a result of drinking the four cups is an excuse, note the Yerushalmi Pesahim (10:1) which relates the great discomfort the Ammoraim suffered from the wine they consumed for the four cups:
רבי יונה כדעתיה דרבי יונה שתי ארבעתי כסוי דלילי פסחא וחזיק רישיה עד עצרתה רבי יודה בי רבי אלעי שתי ארבעתי כסוי דלילי פיסחא וחזיק רישיה עד חגא
Regarding, whether or not the Shulhan Arukh's allowance for hamar medinah would apply in a given case, consult your local Orthodox rabbi.
Regarding which drinks are considered hamar medinah, see here. Some drinks included by some poskim as hamar medinah include orange juice, apple juice, and tea.