This question is addressed by several Acharonim.
R. Pinchas Horowitz says that during the 7 days of inauguration Moshe did not erect the Mishkan by himself. Since multiple people did the act together it was not a violation of Shabbat labor.
Panim Yafos Parshas Naso
ונראה דהקמת כל שבעה ימים לא היה ע"י משה עצמו כמו כל מלאכת המשכן שנעשה
ע"י אחרים ונקרא ע"ש משה משא"כ הקמת השמיני שהיא לקיום נצטוה משה להקימו
בעצמו כמפורש בקרא שעשה משה בעצמו ואפשר שהיה אסור לעשות שום מלאכה שלא
נצטוה מפי השי"ת לעשות בעצמו כמ"ש חז"ל בר"פ עשרה יוחסין כיון שנתמנה אדם
פרנס על הצבור אסור לעשות מלאכה בפני רבים ויש להוכיח זה מדאמר בילקוט
בכל שבעת הימים היה מקימו והיאך מקימו בשבת הא כל מלאכת המשכן לא דחה
שבת אלא דהרבה לוים היו מקימין אותו וקימ"ל דשנים שעשוהו פטורין ואין
איסור מן התורה ותו דאין שבות במקדש וי"ל שהיו מקימין ע"י רבים והיינו
דיליף רב יוסי מדכתיב סוף פרשת פקודי ויהי בחודש הראשון הוקם המשכן ויקם
משה את המשכן משמע להדיא דשני קימות היו הראשון הוקם ע"י הלוים
R. Yaakov Emden says that even though building the Mishkan generally does not override Shabbos, for Moshe during the 7 days of inauguration it did override Shabbos.
Siddur Beis Yaakov Ma'amados L'yom HaShabbos
ור"ל דה"ט דקדמה בכאן לומר באמת שדוחה את השבת והיינו בהקמת המשכן שהיה
מרע"ה מקימו ומפרקו כל ז' ימי המלואים (אע"ג דכה"ג ודאי יש בנין וסתירה
באוהל וגם חיוב חטאת יש בו) ומכאן למד לפי שהקדים צווי המשכן לשבת הודיעו
שהקמתו דוחה את השבת ולכן הוצרך לסמוך השבת מאחריה ולמעט בשמירתה אך כדי
שלא יטעו ישראל לומר ששבת דחויה היא אצל משכן לכל אדם ביום הקמתו לפיכך
הוצרך להזהירם לדעת רש"י באך שממעט במשכן מדחיית שבת והיינו לכל ישראל
חוץ ממרע"ה
R. Eliyahu David Rabinowitz Teomim rejects R. Yaakov Emden's explanation and answers simply that the Midrash is lav davka and Moshe erected and disassembled the Mishkan on the other days but not on Shabbos.
Zechor L'Dovid Mispar Shalem # 9
כן נראה לי במה שאמרו בירושלמי פ"ק דיומא ובמדרשים שמשה רבינו ע"ה היה
מעמיד ומפרק את המשכן כל שבעת ימי המלואים דלאו דווקא כל שבעה דדל
מינייהו יום השבת דאין בנין המשכן דוחה כדא' ביבמות ו' (ב') [א']
ובמכילתא ריש פרשת ויקהל ובכמה מקומות אלא הואיל והיו שבעת ימי מלואים
נקט בזה לשון הרגיל אף שלא היה מפרק ומעמיד רק ששה מהם
R. Yaakov Zev Yoskovitz suggests that really erecting the mishkan should override Shabbos because it is a prerequisite of the avodah. The reason why it does not override Shabbos is that it is a prerequisite that could have been done before Shabbos. In this case, however, where the specific command was to erect and disassemble the Mishkan on each day it could not have been done before Shabbos, and therefore it overrode Shabbos as a prerequisite to the avodah.
Ambuha D'Sifrei Parshas Naso
ונ"ל בפשיטות דהנה הא דכל מלאכת המשכן ומקדש אינו דוחה שבת אף דלכאו' הי'
ראוי שידחה שבת משום מכשירי עבודה דהא עבודה דוחה שבת אך פשוט משום דהוי
מכשירין שאפשר לעשותן מע"ש דקיי"ל דאינו דוחה שבת [ועי' בחי' חת"ס שבת
קל"א מש"כ לתרץ הא דקשה לכאו' דלר"א דס"ל דגם מכשירין שאפשר לעשותן מע"ש
דוחה שבת א"כ למה לא נאמר דבנין מקדש ומשכן ידחה שבת משום מכשירי עבודה
יע"ש דבר יקר] וגם במזבח שנפל בשבת אינו דוחה שבת אף דעתה א"א לעשות
מאתמול מ"מ מין מזבח ראוי מאתמול וכמבואר בירושלמי שבת פראד"מ ובירושלמי
פסחים פ"ו ה"ג יעי"ש ועי' בעירובין ק"ג גבי נימת כינור שנפסקה ודו"ק ועי'
בצל"ח פסחים ר"פ א"ד שנסתפק ביבלת שנולד בשבת אם חשוב א"ר מאתמול ודוחה
שבת ודבריו תמוהין מירושלמי הנ"ל וכנודע ואכמ"ל] וא"כ כאן בימי המלואים
דהמצוה כן הי' לסתור ולבנות בכל יום מימי המלואים ופשוט דזה הי' מכלל
חינוך המשכן וא"כ לא הי' אפשר לעשות מאתמול ושוב הי' דוחה שבת משום
מכשירי עבודה שא"א לעשות מאתמול דהרי קרבנו של נשיא לבני אפרים הי' דוחה
שבת וע"כ הי' גם הבנין והסתירה דוחה שבת משום מכשירי עבודה וא"ש