The Halacha clearly defines when a potential Ger - who wants to keep all the Mitzvot - should be turned away. These reasons are codified in Shulchan Aruch, Yoreh De'ah סימן רסח - כיצד מגירין הגר והגירת, ודיני קדשת הגר
יב: כְּשֶׁבָּא הַגֵּר לְהִתְגַּיֵּר, בּוֹדְקִים אַחֲרָיו שֶׁמָּא בִּגְלַל מָמוֹן שֶׁיִּטֹּל אוֹ בִּשְׁבִיל (טז) שְׂרָרָה שֶׁיִּזְכֶּה לָהּ אוֹ מִפְּנֵי הַפַּחַד בָּא לִכָּנֵס לַדָּת. וְאִם אִישׁ הוּא, בּוֹדְקִין אַחֲרָיו שֶׁמָּא עֵינָיו נָתַן בְּאִשָּׁה יְהוּדִית. וְאִם אִשָּׁה הִיא, בּוֹדְקִין אַחֲרֶיהָ שֶׁמָּא עֵינֶיהָ נָתְנָה בְּבַחוּרֵי יִשְׂרָאֵל, וְאִם לֹא נִמְצֵאת לָהֶם עִלָּה מוֹדִיעִים לָהֶם כֹּבֶד עֹל הַתּוֹרָה וְטֹרַח שֶׁיֵּשׁ בַּעֲשִׂיָּתָהּ עַל עַמֵּי הָאֲרָצוֹת, כְּדֵי שֶׁיִּפְרְשׁוּ. אִם קִבְּלוּ וְלֹא פֵּרְשׁוּ, וְרָאוּ אוֹתָם שֶׁחָזְרוּ מֵאַהֲבָה, מְקַבְּלִים אוֹתָם.
The reasons are:
- The Ger would gain monetarily
- The Ger would get some honour
- The Ger is converting to get married to a specific Jew(ess).
If this is not the case, and they agree to keep the Mitzvot, then one may convert them.
The fact that they physically cannot perform a Mitzva is not a reason to not convert them.
The fact that they are ill is not a reason to not convert them, assuming they are compos mentis.
That said, Halachically nobody can be forced to convert somebody. A Bet Din is needed to do a conversion, and nobody can be forced to be part of a Bet Din.