Reishit Chachmah, Shaar HaKedushah, ch. 6 (on Sefaria it's number 103)
ואגב מבואר שהרצועה שאנו כורכין באצבע היא טבעת הקידושין שהזכר נותן לה, ומכאן היה אומר מורי ע"ה שאין ראוי לכרוך הרצועה על האצבע עד שיניח תפלה של ראש שהוא סוד הזכר, שאם עדיין לא בא הזכר קדושין מהיכן, וכן מנהג רוב ישראל, ואין ראוי לשנות המנהג. וכן היה אומר מורי ע"ה שכריכה זו שבאצבע צריך שתהיה מעומד, שהזכר המקדש את האשה מקדש אותה מעומד, שהקדושין הם מעלמא דדכורא, ודרכו מעומד. והכריכות צריכות שיהיו ג' כדפי' ברעיא מהימנא (פ' פנחס דף רכח ע"ב), והעתקנו לשונו לעיל
The Pesukim we say while wrapping also correspond to the encircling that's done under the Chuppa. Since "Varastich" is mentioned 3 times in the passuk we wrap it 3 times around the finger.
I've seen some who say that is why we use the middle finger as that used to be the ring finger (I believe today most use the 4th finger).
Along these lines, if you look at all the different versions, they all have the basic 3 times around the finger and then either an additional 2 which equals 3 counting the first finger, or an additional 3 rings around the fingers or circling first 1 finger then 2 then 3 etc. But they all seem to work in sets of 3's.