Regarding Motzei Shabbos (after Shabbos) the Kitzur Shulchan Aruch in 96:2 explains:
אחר כך אומרים ואתה קדוש וגו' וסדר קדושה ששייך לויהי נועם, שעל ידי מלאכת המשכן שרתה שכינה בישראל, וזהו ואתה קדוש יושב תהלות ישראל, אם חל יום טוב בשבוע הבא אפילו בערב שבת אין אומרים ויהי נועם ואתה קדוש, דכיון שאומרים בויהי נועם ומעשה ידינו כוננהו, צריך שיהיו כל ששת ימים ראוי למלאכה, וכיון שאין לומר ויהי נועם, גם ואתה קדוש אין אומרים דשייכי להדדי.
Regarding Purim after reading the Megilla the Kitzur Shulchan Aruch writes in 414:4:
ואתה קדוש (שהוא במזמור למנצח על אילת השחר, שנאמר על אסתר ושם נאמר אלהי אקרא וגו' דנאמר על מקרא מגילה, דאמר ר' יהושע בן לוי, חייב אדם לקרות את המגילה בלילה ולשנותה ביום, שנאמר אלהי אקרא יומם ולא תענה, ולילה ולא דומיה לי, וסמיך ליה ואתה קדוש וגו'),
He does not explain why we say after reading Eicha.
I'll try translate this later.