The source of Isru Chag is from Chagiga 18b. The Gemara says that, when Shavuoth falls on Shabbat, the Korbanot of Chagiga and Re'iya were brought (preferably) on Sunday. (They can be bought the entire week, but the earliest - and best - time was on Sunday.)
This Sunday is called יוֹם טְבוֹחַ - the day of slaughtering.
As a result, the day after Shavu'oth must be celebrated as an Isru Chag, with all of its laws: e.g. no fasting, eulogizing, or Tachanun.
The Aruch Hashulchan in סימן תכט - דיני חודש ניסן explains that even for the Pessach and Sukkoth there is a reason to celebrate Isru Chag, since the Korban Chagiga was eaten for 2 days (and the night between). So those Korbanot brought on the last day of Yom Tov were still being eaten on Isru Chag.
ה: ונוהגים להרבות קצת באכילה ושתייה ביום שאחר החג, והוא ''אסרו חג''. והמנהג שלא להתענות בו, דנחשב קצת כיום טוב. דאסרו חג שבועות – וודאי היה יום טוב, שבו היה יום טבוח, ותפסו ליום טוב כל אסרו חג גם של פסח ושל סוכות. ובסוכה (מה ב): אמרו כל העושה איסור לחג באכילה ושתייה – מעלה עליו הכתוב כאלו בנה מזבח, והקריב עליו קרבן, שנאמר: ''אסרו חג בעבותים עד קרנות המזבח''. ופירש רש''י בלשון אחד דא''אסרו חג'' קאי, עיין שם.
ונראה לי דהכי פירושו: דהנה שמחת החג, כשמכוין לשם שמים – עיקר השמחה בהקרבנות, שלמי שמחה. ואם בהתפעלות נפשו הקשורה לה' שמח גם כן ביום שלאחריו, ואוכל מהשלמים של אתמול, דשלמים נאכלים לשני ימים ולילה אחד, הוי התוספות דכאילו לבד הקרבנות – בנה גם כן את המזבח.
Reb Uri Weinberg זצ"ל said that, in Israel, there's an additional reason not to say Tachanun (or למנצח) on Isru Chag. This is because, in the Diaspora, it is still Yom Tov.
