3 of 3 Changed a translation from "there is no inhibiting issue of placing a tablecloth," to "then there is no need to place a tablecloth on the table," which I believe is a more clear translation.

One can use the same tablecloth for both meat and milk meals if the tablecloth is clean.

Even though the Shulchan Aruch Yoreh Deah 89:4 writes that you must change tablecloths between meat to dairy meals, the Pitchei Teshuvah elaborates that the reasoning no longer applies.

This is what the Pitchei Teshuvah (89:8) writes:

עיין מ"ש רדב"ז ח"ב סי' תשכ"א שכתב שאין דברי הרב אלא כשהיו מניחין הבשר והגבינה על המפה ואז יש לחוש שמא ידבקו זה בזה אבל מנהגינו להביא כל מאכל על השלחן בקערות כו' הלכך אפי' לצאת ידי חומרת הרשב"א ז"ל בהפוך המפה לחוד ובהסרת הפתיתין סגי וכן נהגו ע"כ דבריו עיין שם:

See what the Radbaz wrote (ח"ב סי' תשכ"א) that this only applied when they used to place meat and milk on the [actual] tablecloth, and so there was concern that they would stick to each other. But our custom is to bring any food [to the table] in bowls, etc. Thus, even through the Rashba's stringency it is enough to shake out the tablecloth [lit. turn over the tablecloth and remove the pieces], and this is how people act according to his words.

In short, if you eat food on a plate, you can use the same tablecloth.

UPDATE: Regarding differences of Ashkenazim and Sephardim, I can only speak for Sephardic application, in light of the authoritative R. Ovadia Yosef's permissive attitude. In Yalkut Yosef Yoreh Deah 89:65-66, it is written:

אם אוכלים באמצעות כלים ולא באופן ישיר על השלחן, אין הדבר מעכב ליתן מפה על השלחן, ואפשר לאכול על אותו שלחן מאכלי בשר, ובערב מאכלי חלב בלי מפה, [לאחר שינקו את השלחן משיירי המאכל]. ויש שנהגו להחמיר בכל אופן, לייחד מפה למאכלי בשר, ומפה למאכלי חלב, שחוששין שמא נשארו על המפה שיורי בשר, ואחר כך כשיעמיד שם לחם וגבינה ושאר מאכלי חלב, ידבקו זה בזה, ויאכל בשר וחלב בבת אחת. ואמנם מעיקר הדין אם אוכלים את הבשר ואת הגבינה בתוך צלחות, ולא על השלחן ממש, אין איסור לאכול על אותה מפה, ודי להסיר את הפתיתים.

מפה שעוונית או ניילון שעל ידי ניגוב היטב יוצא כל הלכלוך הדבוק בה, יש להקל לאכול עליה בשר אחר גבינה, וכן להיפך לאחר המתנת שש שעות, אפילו אם המאכלים עצמם מונחים על המפה [ולאו דוקא שמונחים בצלחות], ובלבד שינקה היטב את המפה במטלית לחה להסיר את כל הנדבק, ואחר כך ינגב במטלית יבשה. וכל שכן אם אוכל באמצעות צלחות. ובשבת ויום טוב יש ליזהר שלא לנגב בחוזק במטלית לחה. ומפה שאפשר להשתמש בה בשני צדדים, וניכר הבדל בין הצדדים כדי שלא יתחלף, מותר להשתמש בה לבשר ולחלב.

If you eat using dishes, and not directly on the table, then there is no need to place a tablecloth on the table, and you can eat meat directly on the table and then dairy foods in the evening without a tablecloth [after cleaning the table of leftover food]. There are those who are stringent in any case and separate meat tablecloths from dairy tablecloths out of concern that residual meat will remain and later, when they place bread and cheese and other dairy products [on the tablecloth], they will get stuck to each other and the person will eat meat together with dairy. But actually, the letter of the law is that if you eat meat and cheese inside plates, and not on the actual table, there is no prohibition to eat on the same tablecloth. It is enough to remove the crumbs off.

If an oilcloth or nylon tablecloth was wiped off well, clearing any filth stuck to it, there is room to permit eating meat after cheese on it and vice-versa (after waiting six hours). Even if the foods themselves are resting on the tablecloth [and not actually on the plates], as long as the tablecloth was well cleaned with a damp cloth to remove anything that got stuck and then wiped with a dry cloth [it is permissible]. And all the more so, if one is eating using plates. On Shabbat and Yom Tov one must be careful not to wipe strongly with a damp cloth. If a tablecloth can be used on both its sides and you recognize the difference between the sides, in order to not have to switch tablecloths, it is permissible to use it for meat and dairy.