One of the Mitzvos which is normally done through a Shaliach-emissary, is teaching your son Torah Kiddushin 29b:
ללמדו תורה:מנלן דכתיב (דברים יא, יט) ולמדתם אותם את בניכם.
Where do we know one should teach his children Torah? "you shall teach them(the Torah) to your sons" (Devarim 11:19)
The Shulchan Aruch (YD 246:5) says:
מקום שנהגו ללמד תורה בכתב בשכר מותר ללמד בשכר אבל תורה שבע"פ אסור ללמד בשכר לא מצא מי שילמדנו בחנם ילמוד בשכר ואע"פ שהוצרך ללמוד בשכר לא יאמר כשם שלמדתי בשכר כך אלמד בשכר אלא ילמד לאחרים בחנם ומה שנהגו האידנא ללמד הכל בשכר אם אין לו במה להתפרנס שרי ואפי' יש לו אם הוא שכר בטלה דמוכח שמניח כל עסקיו ומשאו ומתנו שרי (וכל חידושי סופרים דהיינו מה שנתקן מדרבנן מותר ליטול שכר ללמדו)
One is allowed to teach how to read Torah Shebichtav i.e learn Tenach for a wage. But one cannot teach Torah Shebaal Peh e.g Mishna, Gemara, Midrash. If one needs to learn Torah Shebaal Peh and cannot find someone unless he pays him he should pay to learn. But he cannot then ask for wages to teach (even though he had to pay to learn). The Minhag nowadays is to pay people to teach is because the teachers have no livelihood (so we are obligated to give them wages as Tzedaka) and need the money. Someone who has livelihood we pay for their missing work if they take out time from work.
The gemara (Nedarim 37a) specifically singles out a Shaliach teaching Torah cannot take wages as it is forbidden because Hashem taught us for free and we should teach Torah for free:
על המדרש לא שרי למשקל מאי שנא מדרש דלא דכתיב (דברים ד, יד) ואותי צוה ה' בעת ההיא ללמד אתכם וכתיב (דברים ד, ה) ראה למדתי אתכם חוקים ומשפטים כאשר צוני ה' מה אני בחנם אף אתם נמי בחנם
This implies that a shaliach for any other Mitzva e.g sending a Divorce, can be payed as they are not teaching Torah.
If they would be doing another job during that time or need the livelihood even teaching Torah as an emissary of the father of the student is permitted