Aruch Hashulchan 683:
Chanukah is similar to Succas. Each day‘s sacrifices varied on Succas; each day’s candles are different one to the next. In that respect Hallel is also completed on Chanukah like Succas. As I wrote in 670:5, on account of the decrees, they couldn’t bring the Succas sacrifices, so Chanukah was established in place [at that time]. Therefore full Hallel is said just like on Succas.
בחנוכה גומרין את ההלל, משום דבכל יום נעשה בו נס בפך השמן. ועוד: דבכל יום חלוק בנרותיו, לפי המהדרין מן המהדרין, והוי כסוכות שחלוקים בקרבנות וגומרין את ההלל. ועוד: שהרי קורים בנשיאים, ובכל יום נשיא של יום זה חלוק משל חבירו. אם כן כל נשיא צריך לגמור ההלל על קרבנותיו (בית יוסף). ועוד: דכפי מה שכתבתי בסימן תרע, עשו שמונה ימי חנוכה תחת ימי הסוכות, שלא עשאו אז. וממילא דגומרין את ההלל כבחג הסוכות.
Beit Yosef 683:
Since each day’s amount of lights is different than the last, in that respect it is like Succas which has separate sacrifices each day [and has complete Hallel]. Also, since we read one of the princes each day, and each one needs to complete the Hallel for his sacrifice, it wouldn’t be right to have a different reading and not read the [whole] Hallel.
כל ח' ימי חנוכה גומרים את הלל בפ"ב דערכין (י:) מימרא דר' יוחנן משום ר"ש בן יהוצדק וכתוב בשבלי הלקט שהטעם משו' דחלוק בנרותיו כל יום חלוק משלפניו הרי הוא כחג שחלוק בקרבנותיו ועוד טעם אחר לפי שהנס נתחדש בכל יום ועוד שהרי קוראים בנשיאי' ובכל יום נשיא שלו חלוק משל חבירו אם כן כל נשיא צריך לגמור ההלל על קרבנותיו ואין ראוי לחדש קריאה בלא קריאת ההלל: