Ralbag has an interesting explanation of the challenge of the Binding of Isaac, which could answer this question.
He explains that the challenge was specifically to see how easy it would be for Abraham to sacrifice his son (i.e. not to see if he would sacrifice his son at all). God's command to Abraham was sufficiently vague that Abraham could have sought an interpretation other than "slaughter your son". The greatness of Abraham, according to Ralbag, was that he loved God so much that he did not seek to find an alternate understanding of the command. This is because when contrasted with his love of God, anything else — including his love for his son — is essentially non-existent. Thus, the test was to see whether Abraham's love of God was great enough that it totally overrode all other concerns, such that he did not even care to try to find an interpretation that would allow him to keep his son alive.
Accordingly, it is possible that Abraham didn't argue with God to spare Isaac for the same reason. That is, despite his love for Isaac his love for God was so great that killing his own son didn't even register as something he would want to avoid. There was thus no reason for him to beg God to spare Isaac.
When it came to Sodom, however, God had not commanded Abraham to do anything. Whereas trying to spare Isaac would necessarily have reflected an imperfection in Abraham's love of God, trying to spare Sodom would not have because regardless of Sodom being destroyed or spared Abraham would not be taking any actions for the sake of God. Therefore, Abraham could perfectly well request Sodom to be spared.
To illustrate the point, we can say that if God had commanded Abraham to destroy Sodom, Abraham might well have done it without any arguing. Conversely, if God had informed Abraham that Isaac would be killed, Abraham might well have argued in his defense.
Ralbag Commentary to Parshat Vayeira
ולפי שהמובן ראשונה מזה המאמר הוא שיעלה יצחק שם לעולה בשיזבחהו ושישרפהו
הנה נשלם לה' יתעלה נסיון אברהם בזאת הנבואה אם יקל בעיניו לעשות איזה
דבר שיזדמן לכבוד ה' יתעלה וזה שאם יקל זה בעיניו לא יחזור להבין מזה
המאמר זולת מה שיובן ממנה בתחילת העיון ואם יקשה זה בעיניו יבקש לזה
המאמר כוונה אחרת זולת מה שיובן ממנו בתחילת העיון והנה הבין אברהם זאת
הנבואה לפי מה שיובן ממנו בתחילת העיון ועם כל זה נזדרז בחריצות גדול
לעשות מה שצוה לפי מחשבתו
התועלת הראשון הוא בדעות והוא להודיע לנו שאהבת ה' יתעלה יותר חשוקה
לשלימי הדעות מכל הטובות הנשארות עד שכבר יבוזו מפני האהבה ההיא בכל שאר
הטובות הלא תראה שאברהם השלם היה קל בעיניו לזבוח בנו יחידו אשר נולד לו
לעת זקנתו לכבוד ה' ולמלאת מצותו עד שלא התעורר לבקש כוונה אחרת למאמר
ה' יתעלה שיעלה יצחק בנו על ההר ההוא לעולה זולת מה שיובן מזה המאמר
בתחילת העיון
This exact question was also asked on Chabad.org and you can see their answer here.