R. Moshe Feinstein writes the following responsum in Igrot Moshe (OH III:39):
הנה בדבר כוס לקידוש אם רשאין לעשות על כוס שנעשה מנייר שהוא כלי רק לשעה ששמע אשר אסרתי, אמת הדבר דהא התוספות מפרשים בברכות דף נ' ד"ה מודים וכן בשבת דף ע"ו כתבו זה בד"ה כדי בשם בני נרבונא דחי שנאמר בהדברים הצריכים בכוס של ברכה הוא שיהיה הכוס גופו כלי שלם ואיפסק כן בש"ע /או"ח/ סימן קפ"ג סעיף ג', וכתב המג"א סק"ה דאפילו נשבר רק בסיס שלמטה נמי פסול אף שגוף הכוס שלם, וכוס של קידוש טעון כל מה שטעון כוס של בהמ"ז כדאיתא /או"ח/ בסימן רע"א סעיף י', אלמא דבעינן שיהא הכוס נאה שרק כוס כזה כשר לבהמ"ז ולקידוש, ורואה אני שכוס של נייר שהוא רק לשעה על פעם זה לבד הוא עוד גרוע דאין לו שום חשיבות שודאי אינו ראוי לבהמ"ז ולקידוש. אך כשליכא כוס אחר אולי יש להקל. ידידו המברכו בחג כשר ושמח, משה פיינשטיין.
He writes that a paper cup that is only fit to be used once [i] is improper, however, if one has no other cup, then maybe it is ok.
On the basis of this reasoning, a posek told me that there would be no problem at all with a plastic cup, as it is fit for multiple uses. Similar reasoning is presented by rabbis Waldenberg and Stern (see link below).
Additionally, Rav Binyamin Zilber (cited here hat-tip @GershonGold) (Responsa Az Nidberu VI #49) states that it is obvious that any disposable cup may be used for kiddush, havdalah, and netilas yadayim. He argues that we do not find anywhere in halacha that there is a requirement for the cup to be nice, and there is no source to suggest that if the cup is only made to be used once, it is not a kli.
This is the opinion of R. Yitshak Yosef as well. He writes in Yalkut Yosef (271:42):
מותר לקדש בכוס העשוי לשימוש חד פעמי, או כוס נייר, וכדומה. אך אם יש לו כוס אחר, עדיף יותר לקדש בכוס אחר, ויקיים בעצמו, זה אלי ואנוהו, התנאה לפניו במצות.
That is, one may use a disposable or paper cup. However if one has a nicer cup it would be appropriate to use it in fulfillment of "zeh eli v'anvehu", doing mitsvot as nicely as possible.
[i] This seems to be the intent of שנעשה מנייר שהוא כלי רק לשעה, that a paper cup cannot be used indefinitely. Alternatively, one could translate it as meaning that it is intended to be temporary, regardless of whether it could be used indefinitely.