In סימן תקפח - זמן תקיעת שופר the Mechaber codifies that one does not blow the Shofar on Shabbat.
ה: יוֹם טוֹב שֶׁל רֹאשׁ הַשָּׁנָה שֶׁחָל לִהְיוֹת בְּשַׁבָּת אֵין תּוֹקְעִין בְּשׁוֹפָר. הגה: וְאָסוּר לְטַלְטְלוֹ, אִם לֹא לְצֹרֶךְ גּוּפוֹ וּמְקוֹמוֹ (אוֹר זָרוּעַ וְהַגָּהוֹת אֲשֵׁרִי סוֹף פֶּרֶק בַּמֶּה מַּדְלִיקִין).
So why is it that in סימן שז - דיני שבת התלוים בדבור when the Mechaber gives an example of something permissible you may ask a non-Jew to do on Shabbat because it's a Mitzvah, he chooses: one may ask the non-Jew to climb a tree to bring a Shofar to fulfil the Mitzvah of blowing the Shofar.
ה: דָּבָר שֶׁאֵינוֹ מְלָאכָה, וְאֵינוֹ אָסוּר לַעֲשׂוֹת בְּשַׁבָּת אֶלָּא מִשּׁוּם שְׁבוּת, מֻתָּר לְיִשְׂרָאֵל לוֹמַר לְעַכּוּ''ם לַעֲשׂוֹתוֹ בְּשַׁבָּת; וְהוּא שֶׁיִּהְיֶה שָׁם מִקְצָת חֹלִי, אוֹ יִהְיֶה צָרִיךְ לַדָּבָר צֹרֶךְ הַרְבֵּה, אוֹ מִפְּנֵי מִצְוָה; כֵּיצַד: אוֹמֵר יִשְׂרָאֵל לְעַכּוּ''ם בְּשַׁבָּת לַעֲלוֹת בָּאִילָן לְהָבִיא שׁוֹפָר לִתְקֹעַ תְּקִיעַת מִצְוָה; אוֹ לְהָבִיא מַיִם דֶּרֶךְ חָצֵר שֶׁלֹּא עֵרְבוֹ, לִרְחֹץ בּוֹ הַמִּצְטַעֵר; וְיֵשׁ אוֹסְרִין. הגה: וּלְקַמָּן סי' תקפ''ו פָּסַק לְהַתִּיר, וְעַיֵּן לְעֵיל (ז) סי' רע''ו (ס''ב) דְּיֵשׁ מְקִלִּין אֲפִלּוּ בִּמְלָאכָה דְּאוֹרַיְיתָא, (וְע''ש ס''ג).
While this may have been a great example for Yom Tov or for when they used to blow on Shabbat, why not give a more useful example - one that can be implemented nowadays?