Regarding attending prayer services, the issue is not the ritual impurity. The issue is that Ezra promulgated a decree that a ba'al keri (one who had an emission) cannot recite Torah, prayers, etc. However, the Talmud already mentions that the custom was to disregard this decree. This is codified by the great codes of law:
Rambam Hilchot Keriat Shema 4:8
כל הטמאין חייבין בקריאת שמע ומברכין לפניה ולאחריה והן בטומאתן אף על פי
שאפשר להן לעלות מטומאתן בו ביום כגון הנוגעין בשרץ או בנדה וזבה ומשכבה
וכיוצא בהן ועזרא ובית דינו תקנו שלא יקרא בדברי תורה בעל קרי לבדו
והוציאוהו מכלל שאר הטמאין עד שיטבול ולא פשטה תקנה זו בכל ישראל ולא היה
כח ברוב הציבור לעמוד בה לפיכך בטלה וכבר נהגו כל ישראל לקרות בתורה
ולקרות קריאת שמע והן בעלי קריין לפי שאין דברי תורה מקבלין טומאה אלא
עומדין בטהרתן לעולם שנאמר הלא כה דברי כאש נאם יי' מה אש אינה מקבלת
טומאה אף דברי תורה אינם מקבלין טומאה
All those ritually impure are obligated to read the Shema and recite
the blessings before and after it in their impure state. This applies
even when it is possible for them to purify themselves that day -
e.g., one who has touched [the carcass of] a שרץ (crawling animal), a
menstrual woman, a זבה, or the couch on which these people have laid,
and the like.
Ezra and his colleagues decreed that a man who had a seminal emission
was forbidden to read the words of the Torah. Thus, they separated him
from the other ritually impure until he immersed himself in a mikveh.
This ordinance was not universally accepted among the Jewish people.
Most were unable to observe it and it was therefore negated.
The Jewish people accepted the custom of reading the Torah and
reciting the Shema even after a seminal emission, because the words of
Torah cannot contract ritual impurity. Rather, they stand in their
state of purity forever, as [Jeremiah 23:29] states: "Are not my words
like fire, declares the Lord." Just as fire is incapable of becoming
ritually impure, so, too, the words of Torah are never defiled. (Chabad.org)
Rambam Hilchot Tefilah 4:4-5
כל הטמאין רוחצין ידיהן בלבד כטהורין ומתפללים אע"פ שאפשר להם לטבול
ולעלות מטומאתן אין הטבילה מעכבת וכבר בארנו שעזרא תיקן שלא יקרא בעל קרי
בלבד בדברי תורה עד שיטבול ובית דין שעמדו אחר כן התקינו אף לתפלה שלא
יתפלל בעל קרי בלבד עד שיטבול ולא מפני טומאה וטהרה נגעו בה אלא כדי שלא
יהיו תלמידי חכמים מצויים אצל נשותיהן כתרנגולים ומפני זה תקנו טבילה
לבעל קרי לבדו והוציאוהו מכלל הטמאין
לפיכך היו אומרין בזמן תקנה זו שאפילו זב שראה קרי ונדה שפלטה שכבת זרע
ומשמשת שראתה דם נדה צריכין טבילה לקריאת שמע וכן לתפלה מפני הקרי אף על
פי שהם טמאין וכן הדין נותן שאין טבילה זו מפני טהרה אלא מפני הגזירה שלא
יהיו מצויין אצל נשותיהן תמיד וכבר בטלה גם תקנה זו של תפלה לפי שלא פשטה
בכל ישראל ולא היה כח בציבור לעמוד בה
All the ritually impure need only wash their hands in order to pray,
just like those not in such a state. Even if they are able to immerse
themselves [in a mikveh] and ascend from their impure state, this
immersion is not required [for prayer].
We have already explained that Ezra decreed that only one who has had
a seminal emission is prohibited from Torah study until he has
immersed himself. The Rabbinical Court [that existed afterwards]
decreed that [this applies] even to prayer, i.e., such a person alone
should not pray until he immerses himself.
These decrees were not put into effect because of questions of ritual
purity and impurity, but rather to ensure that the Torah scholars
would not overindulge in marital intimacy with their wives. Therefore,
they instituted ritual immersion only for one who has a seminal
emission, thereby excepting him from the other ritually impure.
Therefore, at the time of this decree, it was said that even a זב who
had a seminal emission, a menstruating woman who emitted semen, and a
woman who saw traces of menstrual blood after relations, required
immersion to recite the Shema and to pray because of the seminal
emission, despite [the fact that they remained] ritually impure.
This is reasonable, since this immersion was not a matter of purity,
but a result of the decree so that they would not constantly be with
their wives.
This decree regarding prayer was also abolished, since it was not
universally accepted by the Jewish people, and the community at large
was unable to observe it. (Chabad.org)
R. Yaakov Ben Asher cites many earlier opinions on the matter and concludes that the custom is not to prevent any prayer, Shema, or Torah on account of seminal emissions:
Tur O.C. Siman 86
כל הטמאין קורין בתורה וקורין שמע ומתפללין חוץ מבעל קרי שבא מקלות ראש
לכך אסור בד"ת ובק"ש ובתפלה והאידנא שרי דאמר רב נחמן בר יצחק נהוג עלמא
כר"י בן בתירא בד"ת דאמר ד"ת אין מקבלין טומאה וא"צ טבילה וכן כי אתא
זעירי אמר בטלוה לטבילותא כר"י ב"ב ולאו דוקא לטבילותא אלא הוא הדין נמי
רחיצה בט' קבין לא בעי דהא ר"י לא מצריך אפילו רחיצה וקאמר דנהוג עלמא
כוותיה לגמרי כתב רב אלפס איכא מ"ד הא דאמר בטלו לטבילותא בין לד"ת בין
לק"ש ותפלה ואיכא למ"ד דוקא לד"ת אבל לתפלה בעי טבילה ולאו דוקא טבילה
אלא רחיצה בט' קבין ורבינו האי ז"ל כתב כיון דבגמרא ליכא האי מילתא בהדיא
נקוט מנהג כל ישראל בידך שבעלי קריין אע"פ שאין להם מים אינן מתפללין עד
שירחצו וה"ר ישעיה כתב שאין חילוק בין ק"ש לתפלה וכ"כ בה"ג והשתא נהוג
עלמא דקרי בעל קרי בתורה בק"ש ותפלה ויורד לפני התיבה קמי טבילה ונראה
כיון דתלי במנהגא אזלינן בכל דוכתא בתר מנהגא דנהיגי ביה והאידנא לא נהוג
בטבילה ולא ברחיצה לא לד"ת וק"ש ולא לתפלה וכ"כ הראב"ד לא נהוג עלמא כר"י
אלא בטבילה אבל ברחיצה לא נהוג כותיה וזעירי מצריך ט' קבין ומיהו בכל
מקומותינו לא נהוג כותיה אף בט' קבין וסמכו על הירושלמי דגרסינן התם גבי
יוה"כ אסור בתשמיש המטה השתא ברחיצה אסור בתשמיש לכ"ש כלומר אסור לו
להתפלל בעודו בעל קרי עד שיטבול וכיון שאסור ברחיצה כ"ש בתשמיש המטה
ומשני במקום שאין טובלין ואם איתא שצריך ט' קבין מאי משני אכתי ברחיצה
אסור כ"ש בתה"מ
R. Yosef Karo codifies this law, stating that now the custom is to not prevent anything on account of seminal emissions:
Shulchan Aruch O.C. 88:1
כל הטמאים קורין בתורה וקורין ק"ש ומתפללין חוץ מבעלי קרי שהוציאו עזרא
מכל הטמאים ואסרו בין בד"ת בין בק"ש ותפלה עד שיטבול כדי שלא יהיו ת"ח
מצויין אצל נשותיהן כתרנגולין ואח"כ בטלו אותה תקנה והעמידו הדבר על
הדין שאף בעל קרי מותר בד"ת ובקריאת שמע ובתפלה בלא טבילה ובלא רחיצה
דתשעה קבין וכן פשט המנהג
R. Mordechai Yaffe, in his codification, writes that the decree was annulled, and such is the custom across the entire world:
Levush O.C. 88:1
לפיכך כל הטמאים קורין בתורה וקורין קריאת שמע ומתפללין חוץ מבעל קרי
שהוציאו עזרא בתקנותיו מכלל שאר הטמאים וגזר שיהא אסור בדברי תורה ובין
בקריאת שמע ובין בתפלה עד שיטבול וטעמו היה כדי שלא יהיו תלמידי חכמים
נוהגין קלות ראש בעצמן ויהיו מצויין אצל נשותיהן כתרנגולים שמתוך גזירה
זו יפרשו מנשותיהם כי ירע בעיניהם לפרוש כל יום מדברי תורה וקריאת שמע
ותפלה ואח"כ כשראו שגם בזה לא היו יכולין לעמוד בטלו אותה תקנה והעמידו
הדבר על הדין שאף בעל קרי מותר בדברי תורה ובקריאת שמע ובתפלה בלא טבילה
ובלא רחיצה דתשעה קבין וכן פשט המנהג בכל העולם
R. Yechiel Michel Epstein explains that the decree was annulled but he points out that it was not the Sages that annulled it, but the people annulled it and the Sages merely gave their approval. Therefore some people continue to immerse to this day, even though the custom has spread that it is unnecessary. He also quotes several opinions about the extent of the decree and its annullment but concludes that the great poskim ruled it annulled for everything:
Aruch Hashulchan O.C. 88:1-3
כתב הרמב"ם סוף הל' ק"ש [פ"ד הל' ח'] כל הטמאין חייבין בק"ש ומברכין
לפניה ולאחריה והן בטומאתן אע"פ שאפשר להן לעלות מטומאתן בו ביום כגון
הנוגעין בשרץ או בנדה וזבה וכיוצא בהן ועזרא ובית דינו תקנו שלא יקרא
בדברי תורה בעלי קרי לבדו והוציאוהו מכלל שאר הטמאין עד שיטבול ולא פשטה
תקנה זו בכל ישראל ולא היה כח ברוב הצבור לעמוד בה לפיכך בטלה וכבר נהגו
כל ישראל לקרות בתורה ולקרות ק"ש והן בעלי קריין לפי שאין דברי תורה
מקבלין טומאה שנאמר [ירמיה כג, כט] הלא כה דברי כאש נאום ה' מה אש אינו
מקבל טומאה אף ד"ת אינו מקבל טומאה עכ"ל
והטעם שעזרא תקן טבילה לבעלי קרי מפני שבא מקלות ראש [טור] ועוד כדי שלא
יהיו ת"ח מצוים אצל נשותיהם כתרנגולים [גמרא כ"ב.] ומדברי הרמב"ם נראה
שלא החכמים ביטלוה אלא מאליה נבטלה מפני שלא יכלו לעמוד בתקנה זו וכן
משמע מלשון הגמרא שם דאמר נהוג עלמא וכו' ואף ע"ג דאמר שם בטלוה לטבילותא
י"ל שאחר שנהגו כן חיזקו חכמים דבר זה ולכן מצינו במשניות שנהגו בתקנה זו
לפי שעדיין לא נבטלה וגם עכשיו יש מהדרים ששומרים לטבול לקירויין ואין זה
כעובר על תקנת חכמים שצוו לבטלה דבאמת לא החכמים גזרו לבטלה שהעם מעצמן
נהגו כן נתפשטה התקנה והחכמים הסכימו לזה משום ביטול תורה ומשום ביטול
פריה ורביה לפיכך גם עתה יכולין להחמיר בטבילה זו ובלבד שלא יעבור בשביל
זה זמן ק"ש או תפלה בצבור והרמב"ם בתשו' העיד על עצמו שמימיו לא ביטל
טבילה זו
כתבו רבותינו בעלי התוספות שם דיש מפרשים דרק לתורה בטלוה ולא לתפלה ור"י
פי' דלא שנא ע"ש וכ"כ הרמב"ם והרא"ש וכל הפוסקים ויש מהגאונים שאמרו דנהי
דבטלו לטבילותא מ"מ רחיצה בתשעה קבין צריך ורבותינו הפוסקים חלקו על זה
כמ"ש הטור דא"צ לא טבילה ולא רחיצה בט' קבין וטבילה זו אפילו בשאובין
כדאיתא פ"ח דמקואות ואפילו לפי תקנת עזרא אינו אלא בקרי גמור היורה כחץ
אבל ראה מים חלוקים א"צ טבילה גם לפי התקנה [מג"א סק"א] ותשעה קבין הוא
דוקא מג' כלים לא יותר ולא יפסיק משפיכת הראשון עד שיתחיל בהשני וכן
מהשני לשלישי [ט"ז סק"א