When did it become the standard?
This type of question can often not be answered so precisely. Somewhat of an estimate can be made based on a statement of Rambam:
Hilchot Tefila 13:1
המנהג הפשוט בכל ישראל שמשלימין את התורה בשנה אחת מתחילין בשבת שאחר חג
הסוכות וקורין בסדר בראשית בשניה אלה תולדות בשלישית ויאמר יי' אל אברם
וקוראין והולכין על הסדר הזה עד שגומרין את התורה בחג הסוכות ויש מי
שמשלים את התורה בשלש שנים ואינו מנהג פשוט
The common custom throughout all Israel is to complete the [reading
of] the Torah in one year. [The cycle] is begun on the Sabbath after
the Sukkot festival, reading the sidrah, Bereshit. On the following
Sabbath, [the sidrah,] Eleh toldot [is read]; on the third, [the
sidrah,] Vayomer Ado-nai el Avram. We continue reading according to
this order until the Torah is completed, during the Sukkot festival.
There are those who finish the Torah reading in a three-year cycle.
However, this is not a widely accepted custom. (Chabad.org)
Assuming that Rambam is giving us an accurate description, we can say that by the Twelfth Century the triennial cycle had been virtually eradicated.
Why did it become the standard?
This also involves a bit of guesswork. The following theory is based mostly on the commentary of R. Yissachar Tamar to Yerushalmi Megillah 4:1, reproduced below with key parts bolded.
The Talmud tells us of a decree promulgated by Ezra:
Megillah 31b
תניא ר' שמעון בן אלעזר אומר עזרא תיקן להן לישראל שיהו קורין קללות
שבתורת כהנים קודם עצרת ושבמשנה תורה קודם ר"ה מאי טעמא אמר אביי ואיתימא
ריש לקיש כדי שתכלה השנה וקללותיה בשלמא שבמשנה תורה איכא כדי שתכלה שנה
וקללותיה אלא שבתורת כהנים אטו עצרת ראש השנה היא אין עצרת נמי ראש השנה
היא דתנן ובעצרת על פירות האילן
It has been taught: R. Simeon b. Eleazar says: Ezra made a regulation
for Israel that they should read the curses in Leviticus before
Pentecost and those in Deuteronomy before New Year. What is the
reason? — Abaye — or you may also say Resh Lakish said: So that the
year may end along with its curses. I grant you that in regard to the
curses in Deuteronomy you can say, ‘so that the year should end along
with its curses’. But as regards those In Leviticus — is Pentecost a
New Year? — Yes; Pentecost is also a New Year, as we have learnt: ‘On
Pentecost is the new year for [fruit of] the tree’. (Soncino
translation)
In order to read these sections before Shavuot and Rosh Hashanah (without skipping) one must of necessity complete the entire Torah every year. How then could there have been a triennial cycle, if that would fly in the face of Ezra's decree?
This question is in fact asked by R. Yaakov Emden, and he has no answer:
אלא מיהא הא קשיא לי טובא דהאמרינן שילהי מכילתין עזרא תקן שיהו קורין
קללות שבת"כ לפני עצרת ושל משנה תורה לפני ר"ה וכה"ג [דמנהג בני מערבא]
מי מתרמי להו
This is similarly pointed out by R. Tzvi Hirsch Chajes, who likewise has no answer:
נ"ב לפ"ז לא ידעתי לבני מערבא דמסקי אורייתא בתלת שנין עי' לעיל כ"ט ע"ב
איך היו עושים בתקנת עזרא זאת שתבא קריאת הקללות קודם עצרת בכל שנה
However, it is possible that Ezra's decree never fully took hold in all of Israel, because it was too much for the people to bear, just like we find regarding his decree requiring immersion after a seminal emission. The reason why it would have been to hard to bear was that the Torah was read with a verse-by-verse Aramaic translation. In order to complete the entire Torah in one year with the verse-by-verse translation, many hours of Synagogue services would be necessary. that was simply too much for the people, so they only completed 1/3 of the Torah each year.
However, the practice of reading the Torah with the verse-by-verse translation eventually died out. Already in the ~Twelfth Century Tosafot states that this was no longer the custom.
Megillah 23b s.v. Lo
ועל זה אנו סומכין שאין אנו מתרגמין הפטרות שבכל ימות השנה וכן הפרשיות
As the communities ceased reading the translations, they no longer had to worry about the services taking many hours, so there was no longer any reason to not accept Ezra's decree of completing the entire Torah every year.
Alei Tamar Yerushalmi Megillah 4:1
והנה הרמב"ם הלכות תפלה פי"ג ה"א כתב המנהג הפשוט בכל ישראל שמשלימים את
התורה בשנה אחת ומבואר כן בבבלי סוף מגילה אולם לא ידע ממתי החל המנהג
הזה אכן במגילה ל"א ע"ב תניא רשב"א אומר עזרא תקן להם לישראל שיהיו קורין
קללות שבתו"כ קודם עצרת ושבמשנה תורה קודם ר"ה הרי שכבר בימי עזרא היו
משלימים את התורה בשנה אחת אולם בהגהות יעב"ץ בדף כ"ט תמה על הא דאמרינן
שם בני מערבא מסקי לדאוריתא בתלת שנין דהא אמרינן דעזרא תיקן שיהיו קורין
קללות שבתו"כ לפני עצרת ושל משנה תורה לפני ר"ה וכה"ג מי מתרמי להו וש"מ
שמשלימים התורה בשנה אחת ולא מצא מענה ולפענ"ד שתקנת עזרא בזה לא פשטה
בא"י כמו שטבילת עזרא לא פשטה בכל ישראל ולא היה בכח הציבור לעמוד בה
כמ"ש ברמב"ם הלכות תפלה פ"ד ה"ה וכ"ה ביומא פ"א ה"א עיי"ש ואף כאן מפני
שהאריכו בתרגום התורה בדרשות בא"י כמ"ש בתרגום יב"ע לא היה בכחן להשלים
את פרשת השבוע בכל שבוע מפני טורח הציבור שהיו צריכים לשהות שעות הרבה
ומפני כן גמרו התורה בשלש שנים וכן משמע מהרמב"ם שם שבה"א כתב ויש
שמשלימים את התורה בשלש שנים ובה"ב הביא תקנת עזרא נגד מנהג זה א"ו שאין
כאן קושיא מפני שלא פשטה ולא עוד אלא אפילו בבבל גופא לא פשטה תקנת עזרא
זו כמו התקנה שאין קורין קללות שבתו"כ בשבת שלפני עצרת אלא בשני שבתות
שלפניה וז"ל הרמב"ם שם ה"ב עזרא תיקן להם לישראל שיהיו קורין קללות שבספר
ויקרא קודם עצרת ושבמשנה תורה קודם ר"ה והמנהג הפשוט שיהיו קורין במדבר
סיני קודם עצרת אתם ניצבים קודם ר"ה עכ"ל ונראה שרוצה להעיר ע"ז שהמנהג
אינו כתקנת עזרא שלפי תקנת עזרא היו צריכים לקרות בחוקותי קודם עצרת וכי
תבא קודם ר"ה ברם המנהג אינו כן שקורין במדבר סיני לפני עצרת ואתם ניצבים
קודם ר"ה והקללות שבתו"כ קורין שתי שבתות שלפני עצרת ושל משנה תורה שתי
שבתות לפני ר"ה ונראה שטעם המנהג הוא שלא רצו להסמיך הקללות למתן תורה
ולר"ה ובב"ב פ"ב בין עשר תקנות שתקן עזרא נזכרת טבילה לבעל קרי ואלו תקנה
זו לא נזכרה כלל ומפני שלא פשטה בכל ישראל אף במקום שפשטה לא פשטה כתקנתה
אולם בהג"מ שם לא כתב כן עיי"ש