This question was posed to R. Moshe Feinstein by R. Ephraim Greenblatt in 1969, and is recorded in Igros Moshe E.H. 3:18.
In the first paragraph he explains that the kiddushin is still effective even with a double-ring-ceremony:
בדבר אלו שאחר שהחתן קדש בטבעת את הכלה נתנה גם הכלה להחתן טבעת ואמרה
הריני מקודשת לך או אתה מקודש לי ודאי לענין הקידושין מאחר שכבר נתקדשה
כדין הם קידושין גמורים ומה שגם היא נתנה וגם אמרה מה שאמרה הם דברי הבל
ושטות ואף שידעו מתחלה הם והעדים שיעשו כן שגם היא תתן טבעת ותאמר לא
שייך לבטל הקידושין משום שנימא שהוא כאיגלאי מילתא שרוצים שהקידושין יהיו
גם ע"י נתינתה ואמירתה דהרי אף אם היו מתנים כן בפירוש היה זה כמתנה ע"מ
שכתוב בתורה שאינו כלום וכ"ש שלא מועיל גילוי מילתא לבד ואף אם יתנו
בתנאי כפול כהלכות תנאי שיחולו קידושין רק באם תתן לו גם היא אח"כ טבעת
ובאמירה נמי ודאי יחולו הקידושין כשיתקיים התנאי כתנאי דע"מ שתתן לי
מאתים זוז וכל תנאי וזה פשוט
With regard to the matter of those who, after the groom performs
kiddushin to the bride with a ring the bride also gives a ring to the
groom and says "hareini mekudeshes lecha" or "atah mekudash li",
certainly with regard to the kiddushin since it was already performed
lawfully it is a complete kiddushin, and the fact that she gave [a
ring] and said what she said is simply folly and stupidity. And even
if they and the witnesses knew in advance that they would do this –
that she would also give a ring and make a declaration – it is not
possible to nullify the kiddushin on the basis that this is an
indication that they want the kiddushin to be effected also through
her giving and speaking. This is so, because even had they explicitly
made this a condition, it would be like one who makes a condition
about something written in the Torah, which is worthless, and
certainly here where it is only an indication. And even if they made a
double condition, in accordance with the rules of conditions, that the
kiddushin should only take effect if she also gives him a ring
afterwards and makes a declaration, the kiddushin certainly takes
effect when the condition is fulfilled, just like a condition [that
the kiddushin should only take effect] "if you give me 200 Zuz" or any
condition, and this is obvious.
However, he spends the rest of the responsum arguing that it is forbidden to do it because it will lead people to think that a woman can perform kiddushin to a man, it will lead to laws of kiddushin being forgotten, and it might even be forbidden as a gentile practice:
אבל אסור לעשות זה לא מבעיא אם מנהג הנכרים הוא כן שהוא איסור מדאורייתא
אפילו אם אינו חק לע"ז אלא חק הבל ושטות שכתבו התוס' בע"ז דף י"א דבלא
כתיבא באורייתא אף שאינו היפוך דין התורה נמי אסור וכ"ש בזה שהוא נגד דין
התורה ובדיני הנכרים צריכה גם היא לקדש שנמצא שעושין כחק שלהם שודאי הוא
באיסור הלאו אלא אף אם אינו כלל חק הנכרים נמי נראה דאסור לעשות כן בשעת
החופה אף בלא אמירה ובאמירה אף אח"כ אם הוא סמוך להחופה דיש לדמות זה
להגזירה דהבא ראשו ורובו במים שאובין דא"ר ביבי א"ר אסי בשבת דף י"ד שהוא
משום דבתחלה היו טובלין במי מערות מכונסין וסרוחין והיו נותנין עליהן מים
שאובין להעביר הסירחון ומ"מ בא מזה שאמרו לא אלו מטהרין אלא אלו מטהרין
אף שהיה ידוע שנתנו המים שאובין להעביר סירחון וכ"ש הכא שמה שגם היא
נותנת טבעת הוא לקידושין שיש לחוש שיבא מזה שיאמרו שגם האשה יכולה לקדש
את האיש ואף שעדיין לא נמנו ב"ד לגזור ואין זה ממילא איסור ממש מ"מ ודאי
זה עצמו שעושין דבר שיכול לבא לזה הוא ודאי ענין איסור
ובעצם נראה לע"ד שהוא איסור גדול שהרי עי"ז עושין שישכח מהרבה דין
קידושין ושכחת דין אף שלא יבא לשום קלקול הוא איסור לאו דהא אמר ר"ל
במנחות דף צ"ט כל המשכח דבר אחד מתלמודו עובר בלאו ולרבינא בשני לאוין
ולרנב"י בג' לאוין וגם עיין ביש"ש ב"ק פ"ד סימן ט' דלשנות הדין אף לצורך
גדול ואף כשיש חשש פקוח נפש אסור משום דהוא ככופר בתורת משה והתם איירי
בליכא חשש קלקול ומכשול דהא איירי שם בשור של ישראל שנגח שור של עכו"ם
שברור שב"ד רשאין לחייב להישראל לשלם להעכו"ם כשיש חשש פ"נ ומ"מ לומר
שהדין הוא כן אסור אף במקום פ"נ וא"כ הוא רק מצד שינוי דין התורה לבד בלא
קלקול למעשה מזה ולכן בעושין מעשה שיגרום שישכחו דין האמת ולשנותו לדין
אחר עוברין על איסורין אלו ואין להקשות מהא דהקשה אבא על טעם אביי שהטעות
היה שאמרו אלו ואלו מטהרין מאי נ"מ הא קא טבלי בהנך אף דאיכא בזה שכחה
ושינוי הדין דהתם הא עשו זה להעביר הסירחון ולא היה להם לחוש שיגרום זה
לטעות ולכן אף אחר שראו שגרם זה לשכחת הדין היה זה מגרם רחוק שאין לאסור
וגם אולי בכלל אין לאסור לאדם לעשות דבר לצורכו בשביל חשש רחוק כזה מצד
איסור דשכחת הדין שהוא ודאי פשיעתם שלא רצו ללמוד ולהשים אל לבם כלל עשה
הטעות והוצרך רבא לומר שרק משום שבא ממש קלקול להרבה אנשים לעבור על
איסור כרת דנדה וטומאת קדשים גזרו אבל הכא כשירגילו שגם היא תתן טבעת
ותקדש שהוא בלא טעם כלל רק לשנות הדין יש לאסור מצד זה עצמו אף אם לא יבא
לידי קלקול כלל שלא יטעו לומר שסגי רק בקידושין שלה אלא יאמרו דהדין הוא
שצריך שתרוייהו יקדשו נמי הוא איסור גמור וברור מצד שכחת הדין ושינוי
הדין
Interestingly, R. Aaron Rakeffet mentioned in a recent lecture (about 36 minutes in) that he once turned down an offer to officiate at a wedding because they wanted a double-ring ceremony. One of the people attending the lecture asked what would be wrong with such a ceremony, and said that R. Joseph Lookstein allowed it. R. Rakeffet said:
The Rav [R. Joseph B. Soloveitchik] is gonna walk in and chop your head off in one minute.
The questioner then clarified that he was talking about giving the second ring not as part of the kiddushin/chuppah but afterwards, and R. Rakeffet seemed to agree that that would be okay.