It seems non-Jews and women get reward for Mitzvot they do (even the ones they are not obligated to do)*
does this apply also to a "deaf-mute, imbecile or child"?
sources, please
*Sifra Vayikra 18,5
related
https://www.sefaria.org/Kiddushin.31a.11
https://www.sefaria.org/Bava_Kamma.38a.12
https://www.sefaria.org/Bava_Kamma.87a.4
https://www.sefaria.org/Avodah_Zarah.3a.3
The short answer is that yes, a child receives Sechar, it's only a question of how much.
There are various sources outlined in this Olamot article (points 7-9), see there for details.
The Maharam Schick says that a Katan receives Sechar as an Eino Metzuveh Veoseh.
Rav Moshe Feinstein is unsure whether the Sechar received is as an Eino Metzuveh Veoseh or as a Metzuveh Veoseh.
These poskim brought in an article sum up that children and even shotim (fools) can do mitzvos:
טורי אבן ראש השנה כח,א
ודאי ששוטה אינו מפוקע מכל המצוות כגוי, ואין ספק כי קיום מצוה אצלו ודאי יחשב למצוה גמורה, אלא מאחר שהוא שוטה א"כ מעשיו אינם נחשבים כלל ולכן מעשה מצוה שלו שאינו מצוה כלל, לכן הוא חייב לחזור ולאכול מצה כשחזר לשפיותו.
ולכאורה ניתן להביא ראיה לכך ממה שכתבו הפוסקים כמו שיש איסור ספיה לקטן, יש גם איסור ספיה לשוטה, ואסור להאכילו איסור, כמבואר בשו"ת חת"ס (או"ח סי' פג) ועי' עוד בשדי חמד (מערכת ח' כלל קטו), כמו כן אנו מוצאים כי שוטה כשר לשחיטה אם גדול עומד על גבו, משא"כ גוי. ועי' בתבואות שור סי' א' ס"ק מט: "וכ"כ בתשובת מהרי"ל סי' קצו והוכיח דחרש ושוטה בני מצות נינהו ופקחים מוזהרים עליהם, וז"ל דאי הוה כבהמה יחשב שחיטתו אפילו אחרים על גביו כשחיטת גוי וקוף דפסלינן מזבחת ואכלת".
In summary Turei Even (18 century) says their actions are viable which means a Mitzva has been done, however since they do not know what they are doing there is no intention whatsoever and he needs to redo the Mitzva with intention (see Is the mitzva of 'Shikcha' the act of forgetting, or the act of not going back to collect what was forgotten? where it is evident that Mitzva performed without intention do get schar)
The Chassam Sofer and Sdei Chemed say The fact that their actions count is the reason why we can't feed them neveilos. And likewise their shechita counts when a Bar mitzva is making sure they do it properly which is not the case with a gentile.
The Maharil(15th century) says we are Chayav on mistreating them (e.g cursing hitting).
So a Mitzva can be performed by a child/Shoteh and the Sifri Devarim 24,19 says:אמור מעתה נפלה סלע מידו ומצאה עני ונתפרנס בה הרי הוא מתברך עליה i.e getting schar (reward) for a lack of intent is not unique to Shikcha (see link), it applies to other mitzvos when done without knowledge
