One source that I can add to this conversation is ספר בן גרני by Gabriel Jacob Pollack, which notes that in Sefer Halichos Kedem it says that בירבי is a combination of ביר and רבי, and that ביר means son, as in Berachos 5b (in the comments on it, this opinion is associated with Abarbanel). Rav Tzvi Hirsch Edelman writes a long note on this disproving this theory, noting that:
- ביר in Berachos there does not mean son
- some of the fathers of the people who have Beribi after their name were not Rabbis.
- The Yerushalmi, where most of the Beribis are, only uses Ben or Bar to mean "son of"
- Sometimes a name is followed with just Beribi
- It is limited to particular individuals in the Talmud, and if it just meant "son of Rabbi", it would be used more widely, and not as exclusively
He therefore follows Rashi (noted by Aruch in Oliver's answer above) in many places (see inside Sefer for various locations in Rabbinic literature), that it means a "great man", not "son of...". He concludes by saying that when he has time, he will discuss why Chazal chose this title for an Adam Gadol, (but I have been unable to find this anywhere).
However, in his authoritative work מחקרי לשון ומינוח בספרות התלמודית, Rabbi Professor Shamma Friedman devotes over 200 pages to this word (table of contents here). His states in a summary that the word "son" in Aramaic often takes the form of ביר, and even sometimes בי by itself, and that its meaning in all of its forms is "Son of Rabbi":
המפתח לגיזרונו של המונח בריבי ולפתרונו המילולי כרוך בדרכי הכתיב , ובאמצעותו אפשר לחדור גם לעומק פשוטה של מילה זו . כל האמון על הכתיבים הקדומים העממיים רגיל למצב השורר בהם , שכתיבים השונים זה מזה בשינויים קלים משמשים לאותה תיבה , וכפי שהיה נהוג בדרך כלל לפני עידן הכתיבים התקניים , ולפני העידן של תהליכי ההתקנה ( סטנדרטיזציה ) שקדמו לו . האמון בכך , אפוא , רגיל להכרה הפשוטה והטבעית שאין שום הפרש משמעות בין הצורות בי רבי , בירבי , ביריבי , בריבי , ברבי , בר רבי ועוד , וכולם פירושם בפשטות בן רבי , ותו לא . הריבוי המופלג בכתיבים של המונח הזה , כתיבים הנראים כסותרים זה את זה , הוא תוצאה מריבוי הכתיבים של כל אחד ממרכיבי הצירוף שיוצר את המונח ומבטאיהם . בר הארמית קיימת אף בצורת ביר , ונכתבה לפעמים בי , ללא שבשם הגדולים , ופלפל וכתב : " דמדברי רש"י דחולין למדנו שנקרא ברבי על היותו גדול בדורו וכל כך הורגל לתארו ברבי עד שכלם ידעו בדורו כי באמור ברבי רומז אליו ונעשה לו כמו שם אבל לא שהיה זה שם העצם רק התואר נשאר לו לשם העצם והוא כונת רש"י במכות באומרו כך היה שמו כלומר דקרו ליה הכי בסתם וניכר בדורו ...
In the abstract of his review of the above book, Professor Berachyahu Lifshitz states the following:
As to beribbi: although it indeed means “the son of a rabbi”, it had also a formal meaning. It designated the children of the rabbis [beneihem shel ḥakhamim] who were studying at the yeshivah and its use was restricted to the period before they achieved full rabbinic status.
The download of Lifshitz's full book review is available at the link above, and lists some of the proofs and discussion of "Beribi" meaning son of "Rabbi".
Side note: If anyone has a subscription to Kotar and can look up any of the articles and summarize the arguments, suggestions, and findings in detail, that would be fantastic.