In explaining a statement of Rambam, his son Rabbenu Avraham explains (Exodus 24:12) that when the Midrash speaks of the Mishnah being Sianaic, it doesn't mean that there was a set formula for it, or that all the details in it were transmitted, but rather that ideas were transmitted. Indeed, in his introduction to his commentary to the Mishnah, Rambam discusses R. Yehuda HaNassi's motivation for structuring the Mishna as he did, and nowhere does he indicate that this was divine rather than R. Yehuda HaNassi's idea:
כאשר חשב לחבר את הספר הזה לפי תכנית זו, ראה שצריך לחלק אותו לחלקים, ולכן חלקו לששה חלקים
Accordingly, presumably, he would reject the aggada in Shabbat, or more likely, explain it homiletically.
Regarding the structure of the Mishneh Torah and Turim, the Turim is not really equivalent to the Mishna in that it skips everything not practically relevant today anyway. Regarding the structure of the Mishneh Torah, Rambam himself states (Introductino to Sefer HaMitsvot) that he considered using the Mishnaic structure, but ultimately decided that his categorisation system would be more practical:
וכאשר כוונתי בדעתי התכלית הזאת שמתי מחשבתי באי זה פנים אחלק החבור ושעריו איך ראוי שיהיה. אם אחלקהו כמו חלוק המשנה ויספיק לי דרכו, או אחלקהו חלוק אחר ואקדים ואאחר לפי מה שיחייב העיון שהוא היותר ראוי והיותר נקל ללמוד. ונראה לי שהטוב שתהיה חלוקתו שיושם הלכות הלכות מקום המסכתות מהמשנה עד שיאמר בו הלכות סוכה הלכות לולב הלכות תפילין הלכות מזוזה הלכות ציצית. ושאחלק כל כלל לפרקים והלכות כמו שתעשה המשנה. עד שיהיה דרך משל בהלכות תפילין פרק ראשון ופרק שני ופרק שלישי ורביעי וכל פרק נחלק להלכות כדי שיהיה נקל לדעת אותו על פה למי שירצה או לזכור דבר ממנו
While he respects the Mishnaic division enough to initially consider it, he makes no suggestion that the system is divine. Even had he believed that there was divine inspiration in the Mishnaic system, it doesn't change his point that it is not the most useful for his purposes.
Interestingly, the Tosafot Yom Tov does chide another Mishnaic commentator for changing the order of the Mishna. Importantly, the context seems to be a commentary on the Mishna itself; not a separate halakhic work like the Mishneh Torah, or the Turim:
נקטינן בסידורן כדאיתא פרק במה מדליקין דף ל"א. אמר ריש לקיש מאי דכתיב והיה אמונת עתך חוסן ישועות חכמת ודעת וגו'. אמונת. זה סדר זרעים. עתך. זה סדר מועד. חוסן. זה סדר נשים. ישועות. זה סדר נזיקין. חכמת. זה סדר קדשים. ודעת. זה סדר טהרות ע"כ. והנה אחרי שחכמים הגידו סדרן. תמיהני איך מלאו לבו של בעל כף נחת להפוך הסדר. ונזיקין שהוא רביעי לדבריהם ז"ל לאחרונה יסע לדילוגו.