It seems that a Leader or someone who is in a public position has to account for his actions and apologize publicly, and should someone come forward to proclaim monetary damage or using his position for his own benefit done to or hurt feelings/false accusing that he wrongly caused through misjudgment.
Bamidbar 16,15 says Moshe accounted for his actios saying he did not take any monetary benefit from anyone as Leader:
ויחר למשה מאד ויאמר אל יהוה אל תפן אל מנחתם לא חמור אחד מהם נשאתי
Likewise he did not mistakenly accuse anyone of wrong:
ולא הרעתי את אחד מהם
Bamidbar Rabbah explains 18,10: שלא חייבתי את הזכאי ולא זכיתי את החייב
Bamidbar Rabbah continues that Korach still blamed Moshe for taking advantage of his position
הלך קרח ואמר אני מבקש שתהא הגדולה על כלנו חוזרת שמשה נטל מלכות לעצמו והכהונה גדולה נתן לאחיו
And then it says further in Bamidbar 16,28 that Moshe said it was all from Hashem:
ויאמר משה בזאת תדעון כי ה שלחני לעשות את כל המעשים האלה כי לא מלבי
In Shmuel 1 12, Shmuel also makes a proclamation of innocence.
הנני ענו בי נגד ה ונגד משיחו את שור מי לקחתי וחמור מי לקחתי ואת מי עשקתי את מי רצותי ומיד מי לקחתי כפר ואעלים עיני בו ואשיב לכם ד ויאמרו לא עשקתנו ולא רצותנו ולא לקחת מיד איש מאומה
A leader has to deal with everyone, if you know you have nothing to do with someone it seams OCD and over righteous to apologize in public or to people whom you know no history of misdemeanors between yourselves.
However ones wife/parents/brothers/sisters/close friends or any one with whom one sometimes lets down his guard and could act carelessly, then apologize in doubt.