In a long teshuvah in his Chevel Nachalato, R. Yaakov Epstein cites many sources on this subject--it would seem from his citations that many Rishonim view the case in Menachot as anomalous for one reason or another:
1) Rif, commentary attributed to Rashba on Menachot--the Gemara is referring to a case in which R. Kattina was wearing a garment obligated in tzitzit; according to this view, there is no source that one must go out of his way to obligate himself, because in this case, R. Kattina was already obligated.
2) Maharsha--R. Kattina was punished because of his stature; according to this view, this Gemara can only be generalized to people like R. Kattina.
3) Tosfot, Mordekhai, Rosh--this Gemara applies only in times when everyone usually wore four-cornered garments; according to this view, this can be generalized only when avoiding a mitzvah that one usually would have to perform.
On the other hand, R. Yosef Gikatilla in his Klalei HaMitzvot writes as follows:
יש מצות עשה שאדם חייב לרדוף אחריהם לקיימן כדי שלא יהא בכלל פושעי ישראל
בגופן, כגון תפלין וסוכה ולולב וכיוצא בהן, ואלו הן הנקראות חובה. ויש
מצות עשה שהם מצד אחד חובה ומצד שני דומות כמו רשות כגון מזוזה ומעקה
וכיוצא בהן, שאין אדם חייב לשכון בבית בהכרח כדי שיעשה מזוזה או לבנות
בית בהכרח כדי לעשות מעקה, ומ"מ מצד קיום המצוה חייב אדם להשתדל לעשותה,
כדגרסינן בפרק התכלת (מנחות מג ב) ר' אליעזר בן יעקב אומר כל שיש לו
תפלין בראשו ובזרועו וציצית בבגדו ומזוזה בפתחו מוחזקני בו שלא יחטא
שנאמר והחוט המשולש לא במהרה ינתק, ואומר חונה מלאך ה' סביב ליראיו
ויחלצם
ומדרך זה חייב אדם לרדוף אחר המצות כולן ולקיים כל מה שאפשר לו מהן לקיימן, ולהיותו משתוקק וכוסף ומתאוה גם אחר המצות שאינו יכול לקיימן, ועל זה עתיד לקבל שכר, דגרסינן בסוטה סוף פ"ק (סוטה יד א) דרש ר' שמלאי מפני מה נתאוה משה ליכנס לארץ ישראל כדי לאכול פירות ולשבוע מטובה הוא צריך, אלא אמר משה הרבה מצות נצטוו ישראל ואינן מתקיימות אלא בארץ ישראל, אמר אכנס לארץ כדי שיתקיימו על ידי, א"ל הקב"ה כלום אתה צריך אלא לקבל שכר הריני מעלה לך כאילו עשיתם שנאמר לכן אחלק לו ברבים, שאני מחלק לו שכר שלם וכו'. ולפיכך ראוי לו לאדם לחזור אחר כל מצוה שהיא תלויה בדבר אחר כדי שתתקיים על ידו ויהיה זוכה לשכר כולן, וכבר ביארנו זה במלת "בטל" ויתבאר במלת "רשות".
According to this view, one is obligated to try to fulfill mitzvot such as mezuzah and maakeh. Similarly, R. Eliezer Azikri in his Sefer Charedim (hakdamah lemitzvot, 2) writes:
מצות עשה שלא יתחייב אדם בהן כי אם בסיבה, כגון מזוזה... וכן מצות מעקה ... וכן ציצית ... ובתרומה ומעשר ...וכן מצות נתינת שכר שכיר ביומו, שאם לא ישכור אדם שכיר אין
כאן מצות נתינה, ופעמים שלא תבא הסיבה לאדם כל ימיו ונמצא שלא עשה אותה
מצוה לעולם. ועל כל כיוצא במצות אלו, אין בית דין של מטה מענישין את האדם
על מה שאינו משתדל להביא עצמו לידי חיוב כדי לקיים אותן, אבל בית דין של
מעלה מענישין עליהם כשיש חרון אף בעולם, כדאיתא במסכת מנחות (מא א) שנגלה
מלאך לרב קטינא ואמר לו אתה בלא ציצית בעבור שבגדיך פטורים, אם כן מצות
ציצית מה תהא עליה...ולשון הרב רבינו יונה גם על מצות כאלה אמרו ז"ל ענוש יענש לעתות
בצרה על דבר אשר לא חמד בלבבו יופי המצוה ושכרה לבעבור סבב פני דבר חיובה
עליו (ש"ג אות כב). ובפרק ערבי פסחים (דף קי"ג ב) אמרו דמי שאין לו ציצית
בבגדו הוי מנודה לשמים, וכתבו על זה התוספות, ומיירי דיש לו ואינו מניחו.
אי נמי אפילו אין לו, יש לו לחזור ולהביא עצמו לידי חיוב, כדאשכחן במשה
שהיה תאב ליכנס לארץ ישראל כדי לקיים המצות התלויות בה
Sefer Charedim too requires one to go out of his way to attempt to fulfill mitzvot in which he would not otherwise have been obligated, including hiring workers to pay them on time.
[It is only according to the view of Sefer Charedim, that one is obligated to look for opportunities to become obligated in new mitzvot, that one might entertain the possibility that one who has never sinned may perform an aveirah so as to fulfill the mitzvah of teshuvah. (See, e.g., here, no. 188.) Obviously, however, this is not a necessary conclusion of Sefer Charedim's view. Interestingly, in Klalei HaMitzvot, erekh "Reshut," R. Yosef Gikatilla explicitly repudiates this approach: הנה יש מצות עשה הרבה כי מי יתן שלא יצטרך אדם לעשותם לעולם ולא הן ולא שכרן, כגון מקצת מצות הבאות בקרבנות על כפרת עבירות שאדם עושה כגון חטאות ואשמות וכיוצא בהן, כדגרסינן בפרק מי שמתו (ברכות כג א) שמור רגלך כאשר תלך אל בית האלקים, שמור רגלך שלא תחטא משתחטא ותביא קרבן לפני. ושמור עיקר זה במצות כי גדול הוא מאד. See also ch. 4 of this book.]
The Darkei Teshuvah (beginning of hilkhot shechitah and hashmatot there) asks this question with regard to shechitah--should one attempt to perform shechitah in order to avoid punishment at a time of God's wrath? He cites Ibn Ezra's Yesod Mora which in turn relates that a certain pious individual looked to perform shechitah in order to fulfill the requirement of reciting 100 berakhot. The Darkei Teshuvah infers from this that one is not required to seek out to perform the mitzvah of shechitah, as the protagonist in Ibn Ezra's story was only concerned about the obligation of 100 berakhot.
Obviously, this question only arises if we assume: 1) one is supposed to perform mitzvot even if he is not obligated to perform them; 2) shechitah is considered a mitzvah (against the view of Raavad, Ramban, Tosfot, Rosh, Tashbetz, Taz, Gra, etc.). Nevertheless, even if we make both of these assumptions, there may be a significant distinction between tzitzit and shechitah: Regarding shechitah there is never a situation in which one is obligated to perform the mitzvah. In the case of tzitzit, however, one who is wearing a four-cornered garment is obligated to place tzitzit on its corners. (See R. Barukh Shmuel Deutsch in his Birkat Kohen, Chullin.)
Regarding the mitzvah of shiluach ha-ken, the Pitchei Teshuvah (Yoreh Deah 292:1) cites Mishnat Chachamim (Tzofnat Paneach 5) who claims that one is only obligated to perform the mitzvah if one has already taken the birds (in which case one has already violated a negative commandment). Even so, if one encounters a nest and does not send away the mother bird, he is punished at a time of divine wrath. The aforementioned Darkei Teshuvah himself maintains that failure to perform shechitah does not warrant punishment because it entails destruction of a creature; I am not sure whether this logic would apply as well to shiluach ha-ken.
A similar question arises with regard to doing something to avoid fulfilling a mitzvah. R. Hershel Schachter in his Be'Ikvei HaTzon cites Bekhorot 3b as proof that one is not allowed to exempt himself from a mitzvah:
רב מרי בר רחל הו"ל ההיא חיותא, הוה מקנה לאודנייהו לעובד כוכבים ואסר
להו בגיזה ועבודה ויהיב להו לכהנים, וכלאי חיותא דרב מרי בר רחל, וכו'
משום דמפקע להו מקדושתייהו
R. Mari b. Rahel possessed a herd of animals. He used to transfer [to a heathen] possession of the ears [of the firstlings while still in the womb]... The herd of R. Mari b. Rahel died... Because he deprived them of their holiness.
However, others note that this case may be different because:
1) One is subverting the sanctity of the animal, not only exempting oneself from a mitzvah; perhaps only subversion of sanctity is problematic.
2) According to one opinion in the Gemara, R. Mari was only punished because others who were ignorant of the relevant laws would learn from his example, but otherwise one would be allowed to exempt himself from a mitzvah (see R. Tzvi Pesach Frank, Har Tzvi al HaTorah, Ki Tisa; compare Maharsha cited above).
It would seem reasonable that this question is also related to the Gemara in Menachot 41a (and indeed R. Schachter cites this Gemara as well).
A final passage that relates to this question is Berakhot 35b:
ואמר רבה בר בר חנה אמר רבי יוחנן משום רבי יהודה ברבי אלעאי: בא וראה
שלא כדורות הראשונים דורות האחרונים; דורות הראשונים היו מכניסין
פירותיהן דרך טרקסמון - כדי לחייבן במעשר, דורות האחרונים מכניסין
פירותיהן דרך גגות דרך חצרות דרך קרפיפות - כדי לפטרן מן המעשר; דאמר רבי
ינאי: אין הטבל מתחייב במעשר עד שיראה פני הבית
Rabbah b. Bar Hanah further said in the name of R. Johanan reporting
R. Judah b. Ila'i: Observe the difference between the earlier and the
later generations. The earlier generations used to bring in their
produce by way of the kitchen-garden purposely in order to make it
liable to tithe, whereas the later generations bring in their produce
by way of roofs or courtyards or enclosures in order to make it exempt
from tithe. For R. Jannai has said: Untithed produce is not subject to
tithing until it has come within sight of the house, since it says.
I have put away the hallowed things out of my house. R. Johanan,
however, says that even [sight of] a courtyard imposes the obligation,
as it says, That they may eat within thy gates and be satisfied.
This Gemara seems to imply that it is a discredit to the later generations that they avoided the obligation. R. Kook in his Ein Ayah (on the Gemara in Berakhot) comments:
ההבדל שיש בין המכיר ערך המצות ותכליתן הנשגבה וחפץ בהן באמת ובין מי
שעבודתו היא רק מצות אנשים מלומדה הוכן להיות יוצא אל הפועל בהרבה מצות
מן התורה, שנמצאו בהם דרכים ע"פ דין תורה להפקיע החיוב מעצמו. אמנם רק
בזה יוודע שלימות העובד מאהבה, בהיות לאל ידו לפטור עצמו ובהיותו מכיר את
ערך המצוה וקדושתה הוא נכנס להתחייב בה. ע"כ במצות מעשרות, שהיא המצוה
הראשית המחזקת את כל אושר הכלל כולו, בהיותה לברית בין המיוחדים לעבודת
ד' שבט הלוי ובין כל העם כולו, דאגה החכמה האלהית ביותר שתהי' נעשיח ע"פ
רוח נדיבה המכרת את ערכה הגדול. ע"כ נתנה מקום להחלץ ממנה [ע"י] הכנסה
דרך גגות חצירו' וקרפיפות, למען שתגיע הרגשת העושה לעשות המצוה מיקרת רוח
ונפש נדיבה, שבזה תצא אל הפועל תכליתה להשלים את הכלל כולו כחפץ האדון
השם יתברך.
See also here for a discussion of הערמה; and see Pesachim 48b:
אמר רב יוסף הני נשי דידן נהוג למיפא קפיזא קפיזא [רש"י: שלשת לוגין לחומרא לשומרו מן החימוץ] לפיסחא. א"ל אביי מאי דעתיך לחומרא? חומרא דאתי לידי קולא הוא, דקא מפקע לה מחלה