Piskei Teshuvos OC 219:9 says:
שם: עוד כתבו דקטן אינו מחויב להודות, ואפילו מצד מצוות חינוך. כי35 אין יכול לומר הגומל 'לחייבים' שהרי עדיין אינו בר חיובא, ואם הכוונה על אביו, אין זה מן הכבוד שבן יאמר כן, וגם האב36 לא יברך הגומל על בנו, וכן נתפשט37 המנהג בכל תפוצות ישראל, אם כי קיימים כמה משיטות הפוסקים38 הסוברים שקטן שהגיע לחינוך יברך הגומל, ויש39 הכותבים שהנכון שיברך בלשון בריך רחמנא מלכא דעלמא הגומל לחייבים וכו'.
In short, according to Magen Avraham here and Avnei Nezer OC:39 among many others, a child under Bar Mitzvah is not required to ever make a blessing of Hagomel, as he cannot say the phrase "Lechayavim". Shaarei Teshuvah here (in the name of Shaarei Efraim and Machazik Beracha here) says that a father should not make this blessing on behalf of his son, and Piskei Teshuvos based on various Poskim, says that it is the universal Minhag for both Ashkenazim and Sefardim that parents do not make this blessing on behalf of their children.
Edit:
However, Rav Yehuda Herzl Henkin in Shu"t Benei Banim 2:15 (h/t to DoubleAA) works his way thoroughly through the Poskim to prove that it is permissible for a father to make Birchas Hagomel, and says that he himself made Hagomel (albeit with slightly different wording), and published this Pesak. Here is his conclusion:
והנה על בתי הקטנה ברכתי הגומל לחייבים טובות שגמל לבתי כל טוב והתכוונתי על עצמי שכיון שהיא קטנה היא כחלק מגופי
From the rest of the Poskim, however, it seems that this is a minority opinion. Tzitz Eliezer (not quoted by Piskei Teshuvos) 14:20 quotes various Poskim (that say that this is Assur, and he concludes that it is obvious that a father may not make this Beracha on his son. (At one point, he even says ולענין אבי הקטן מעלה גם הברכ"י בעצמו בספרו מחזיק ברכה אות ו' כדעת ספר אהל יוסף דלא יברך אלא בלא הזכרת שם ומלכות, ובלי חולק ע"ש ). (He also notes that this is the prevalent Minhag.)
Here is his conclusion about a father making the Beracha:
ועוד יעוין בס' נמוקי או"ח להגאון ממונקאטש ז"ל שהעלה ג"כ דאין להורות לקטן לברך ולעשות כנגד דברי המג"א, ושפשיטא שגם אביו אינו מברך בעדו. וכן בספר שו"ת נחלת בנימין חאו"ח סי' נ"ח נו"נ =נושא ונותן= באריכות בדברי המהר"ם מינץ והמהר"י באסאן ועוד. וסיים להלכה בזה"ל: והנה כמה גאוני חכמי ספרד כתבו שיש לקטן לברך ברכת הגומל, ואפ"ה במדינתנו אין נוהגין כך ואין מברך לא האב ולא בנו הקטן פחות מי"ג שנים וסומכין על תשו' מהר"מ מינץ והמג"א וא"ר הביאו ולא חלקו, א"כ אע"ג שהקטן לפי שכלו בתורה הי' ראוי לברך מ"מ אין לחדש דבר ופוק חזי מאי עמא דבר עכ"ל.