There are many different variations of the Heicha Kedusha,but I will bring what I think is one of the first sources.
The Bais Yosef in Orach Chaim 232:1 writes that if a tzibbur sees that the day is about to end and they need to pray mincha but there isnt enough time to pray the amidah and chazaras hashatz then the tzibbur should pray the amidah (silent shmoneh esrei) first since that is the more important part and one is yotzei from the silent shmoneh esrei. He then brings that after that if there isn't time for the whole repetition then the shaliach tzibur should say from beg until HaKel Hakadosh. This was brought in the name of Rav Hai Gaon and this is how they were noheg in the yeshiva of Pumbadita.
The Rama 124:2 writes that the tzibbur should say word for word with the shaliach tzibbur until haKel Hakodesh,and he notes that there should be at least one person to answer amen to the Shaliach tzibbur (brings this from the Maharil).
The Mishna Brurah 124:8 notes that if they wont miss the zman of mincha then the tzibbur should not say word for word with the shaliach tzibbur but rather start their silent SE after haKel Hakodosh.
In MTJ (Mesivta Tiferes Yerushalyim) they daven a heicha kedusah everyday at mincha time. They follow the procedure of the Mishna Brurah.
Text of the Bais Yosef:
א וכשיגיע זמן תפלת המנח' יתפלל ומאוד צריך ליזהר בה דאמר ר' חלבו אמר רב הונא לעולם יזהר אדם בתפלת המנחה וכו' בפ"ק דברכות (ו:): גרסינן בפרק תפלת השחר (כט:) א"ר חייא בר אבא א"ר יוחנן מצוה להתפלל עם דמדומי חמה וא"ר זירא מאי קרא ייראוך עם שמש ולפני ירח דור דורים לייטי עלה במערבא אמאן דמצלי עם דמדומי חמה מ"ט דילמא מטרפא ליה שעתא ופירש"י עם דמדומי חמה. תפלת יוצר עם הנץ החמה ותפלת המנחה עם שקיעת החמה: לייטי עלה במערבא. על מי שמשהה תפלת המנחה עם דמדומי חמה שמא תטרף לו השעה ע"י אונס ועבר הזמן: והגה"מ כתבו בפ"ג ועתה נהגו העולם כרבנן להתפלל עד הערב וכרבי יוסי דאמר בירושלמי דלא הוקשה תפלת מנח' לתמיד של בין הערביים אלא לקטרת שנאמר תכון תפלתי קטרת לפניך ואמר ר' חייא בר אבא א"ר יוחנן מצוה להתפלל עם דמדומי חמה ואע"ג דלייטי עלה במערבא ה"מ מאן דמאחר טפי אבל קודם ביאת שמש מעט ש"ד כדאמרינן בירושלמי רבי יוסי הוה מצלי עם דמדומי חמה שנאמר על זאת יתפלל כל חסיד אליך לעת מצוא לעת מצויו של יום ואע"ג דתפלת המנחה זמנה מו' שעות ומחצה עד הערב מ"מ מאן דמצלי מפלג מנחה קטנה ולמטה עדיף טפי ובלבד שלא ידחוק את השעה עכ"ל :
Main part starts here:
כתוב בשבלי הלקט שכתב רבינו אפרים בשם רבינו האי דציבור דדחיקא להו שעתא ביני שמשי אית להו לצלויי בלחש והדר לנחותי ש"ץ דלית ליה לש"ץ למיחת ולאפוקינהו י"ח בקול רם לפי שמצות תפלה בלחש ולא נפקי י"ח בין יחיד בין ציבור אלא בלחש ותקנתייהו דמצלי כולהו בלחש במצות תפלה והדר נחית ש"ץ ואומר מגן ומחיה וענו קדושה ומסיים האל הקדוש אם אין שהות ביום למיגמר י"ח ברכות והכי נהוג רבנן במתיבתא כד דחיקא להו שעתא וכן ראוי לעשות עכ"ל :
Text of Rama:
הַגָּה: וְכֵן אִם הוּא שְׁעַת הַדַּחַק, כְּגוֹן שֶׁיָּרֵא שֶׁיַּעֲבֹר זְמַן הַתְּפִלָּה, יוּכַל לְהִתְפַּלֵּל מִיָּד בְּקוֹל רָם, וְהַצִּבּוּר מִתְפַּלְּלִין עִמּוֹ מִלָּה בְּמִלָּה בְּלַחַשׁ עַד לְאַחַר הָאֵל הַקָּדוֹשׁ, וְטוֹב שֶׁיִּהְיֶה אֶחָד לְכָל הַפָּחוֹת שֶׁיַּעֲנֶה אָמֵן אַחַר הַשְּׁלִיחַ צִבּוּר (מַהֲרִי''ל).
Text of the Mishna Brurah:
(ח) והצבור וכו' - ואם אין השעה דחוקה כ"כ לא יתחילו הצבור רק לאחר שאמר הש"ץ האל הקדוש:
