Jewish sources suggesting that synagogues existed in pre-exilic times include:
ונתן: וְתַזְהַר יַתְהוֹן יַת קְיָימַיָא וְיַת אוֹרַיְיתָא וּתְהוֹדַע
לְהוֹן יַת צְלוֹתָא דְיֵיצְלוּן בְּבֵית כְּנִשְׁתְּהוֹן וְיַת אוֹרְחָא
דְּיַבְקְרוּן לְמָרִיעִין וּדְיַהֲכוּן לְמִיקְבּוֹר מֵתַיָא
וּלְמִגְמוֹל בָּהּ חִיסְדָא וְיַת עוּבְדָא וְשׁוּרַת דִּינָא
וּדְיַעַבְדוּן מִלְגַו לְשׁוּרָתָא לְרַשִׁיעַיָין:
ירמיה היה אחד משלשה נביאים שנתנבאו באותו הדור, ירמיהו היה מתנבא
בשווקים, צפניה בתוך בתי כנסיות, וחולדה אצל הנשים.
יחזקאל יא, טז - ואהי להם למקדש מעט אמר רבי יצחק אלו בתי כנסיות ובתי
מדרשות שבבבל
ואת בית העם. בתי כנסיות - רש''י
ואת בית העם - זה בית הכנסת. - רד"ק
After the destruction of the first beit hamikdash, the Anshei knesset hagedolah gathered the work of the prophets into the synagogue, which has become central to the life of every iehudi.
אם אין בתי כנסיות ומדרשות אין הקדוש ברוך הוא משרה שכינתו בעולם
אמרו בלבם נינם יחד. נינם מושליהם וכן (לעיל ע''ב) ינון שמו, ואחריתו
יהיה מנון (משלי כ''ט) כל מושליהם מחשבה א' להם הראשונים כאחרונים
להזדווג לפטרונם של ישראל תחלה ואח''כ יזדווגו להם ותדע שהרי שרפו כל
מועדי אל שהיו בארץ כל בתי וועד שלו, פלשתים החריבו שילה נבכדנאצר החריב
בית ראשון ואחרים החריבו בית שני - רש''י
כל מועדי אל. כל המקומות המיועדות לה' בהכ"נ ובהמ"ד - מצודות דוד
EDIT 1: Other ancient sources indicating synagogues in pre-exilic times :
- Josephus states that the origin of the Synagogue origins with
the direct institution by Moses (see Contra Apionem 2.175):
for he did not suffer the guilt of ignorance to go on without
punishment, but demonstrated the law to be the best and the most
necessary instruction of all others, permitting the people to leave
off their other employments, and to assemble together for the hearing
of the law, and learning it exactly, and this not once or twice, or
oftener, but every week; which thing all the other legislators seem to
have neglected (translation by William Whiston).
7.12 What then did he (Moses) do? He required them to assemble in the same place on these seventh days, and sitting together in a respectful
and orderly manner hear the laws read so that none should be ignorant
of them.
7. 13. And indeed they do always assemble and sit together, most of them in silence except when it is the practice to add something to
signify approval of what is read. But some priest who is present or
one of the elders reads the holy laws to them and expounds them point
by point till about the late afternoon, when they depart having gained
both expert knowledge of the holy laws and considerable advance in
piety.
EDIT 2: Scholarly resources:
- D. Binder argues that the mention of the sanctuary of Casiphia
in Ezra 8:17 refer to what would be called synagogue (see "Into the Temple
Courts: The Place of the Synagogues in the Second Temple Period". (SBL, 1999, p. 135)
- A. Menes argues that Joshua 22 provides early evidence for
synagogues (see "Tempel und Synagoge", pp 268–76)
- J. Morgenstern uses Psalm 74:8 in support of pre-exilic origin of synagogues (Julian Morgenstern, “The Origin of the Synagogue", Studi Orientalistici II (1956), 192-201)
- Von Waldow suggest that the synagogue begin as a response to Josiah’s reforms (see "“The Origin of the Synagogue Reconsidered" in "From Faith to Faith: Essays in Honor of Donald G. Miller", Wipf & Stock Publishing, 1979).
- L. Finkelstein (in The Origin of the Synagogue, PAR, vol 1,
192AJ8-30) mentions linguistic evidence for synagogues in early
prophetic institutions. He wrote (p. 52):
Seems far more logical to assume that (...) about the end of seventh
century, the prophetic gatherings of which we catch so fleeting a
glipse in the incident of the Shunamite woman had already developed
into well-organized prayer-meetings.
For further reading I would recommend: