Menahem ben Aaron ibn Zerah writes in the introduction to Tzeidah La-Derech that the Rosh essentially built off of the Tosafos of Rabbeinu Shimshon of Shanz.
גם חבר פרישה וקצור תוספו' רבינו שמשון משנ"ץ שהיה תלמיד מובהק מרבינו
יצחק בעל התוספות והוסיף בהן דקדוקין ופירושין משאר המחדשין ומהר"מ
מרוטנ"בורק שהיה רבו מובהק
R. Joseph David Sinzheim notes this towards the end of Sheva Chakiros and states that the Rosh did not really add anything of his own, so the Tosafos Ha-Rosh is a determining factor in interpreting Tosafos.
דידוע הוא כי כל פי' בדברי התוס' ע"ד תוס' הרא"ש בודאי לא כיוונו אלי'
התוס' כי לפני הרא"ש הי' התוס' של רבינו שמשון שחי אחריו לדעתי לערך
שבעים שנה וכיון שהרא"ש כתב כן בוודאי היה כתוב כן בפירוש בתוס' שהרי מעט מן המעט שחידש הרא"ש מדעתו וא"כ הוא כתב כן בפי' ובכל חיבורי לא נטיתי מדורי' בפי' דברי התוס' ומה ששאל ר"מ מה הוא תוס' הרא"ש הנה הרא"ש למד עם תלמידי' הש"ס וכדי לקצר עשה קיצור מהתוס' ללמדם עם תלמידי' וכן מבואר בתשובה אחת בתשובת הרא"ש בענין עגונה כלל נ"א ס"ב והובא בטור אהע"ז סי' קי"ח וכן כתב בהקדמת צדה לדרך שחיבר ר' מנחם בן הקדוש ר' אהרן בן זרח תלמידו של ר' יהודא בן הרא"ש ואין בידינו היום סדפוס מתוס' הרא"ש רק על ארבע מסכתות יבמות כתובות מגילה שבועות והשאר עדיין בכ"י במדינת איטלי' וטורקיה ומחבריהם מביאים הרבה דברים בשאר מסכתות