You asked: Should we wait for the Mashiach or should we start building?
Looking inside the Rambam - in הלכות בית הבחירה - פרק ראשון I see that he does start with the commandment to build the Bet HaMikdash so as to bring the Korbanot.
א: מִצְוַת עֲשֵׂה לַעֲשׂוֹת בַּיִת לַה' מוּכָן לִהְיוֹת מַקְרִיבִים בּוֹ הַקָּרְבָּנוֹת.
However he then goes on to say that we don't know how to build the 3rd Bet HaMikdash, as the prophecy in Yehezkel describing it is insufficient to actually build it:
ד: בִּנְיָן שֶׁבָּנָה שְׁלֹמֹה כְּבָר מְפֹרָשׁ בִּמְלָכִים. וְכֵן בִּנְיָן הֶעָתִיד לְהִבָּנוֹת אַף עַל פִּי שֶׁהוּא כָּתוּב בִּיחֶזְקֵאל אֵינוֹ מְפֹרָשׁ וּמְבֹאָר.
My conclusion is that the answer to your question is that either way we have to wait for Mashiach, since only he can give us enough information to build it.
Your claim I recently found out that the Rambam says that it should be built by jews, and that it's an obligation to attempt to build it if possible, is incompatible with the Rambam's text!
What are the bases for both opinions?
The Rambam states it's a verse: `שֶׁנֶּאֱמַר (שמות כ"ה-ח') 'וְעָשׂוּ לִי מִקְדָּשׁ' - Make for Me a Mikdash
Rashi (Sukka 41a) says that it will come down from heaven ready-made, as it says שנא' (שמות ט"ו-י"ז) מִקְּדָשׁ ה' כּוֹנְנוּ יָדֶיךָ - The Mikdash - Hashem - will be built erected by Your Hands.
אי נמי. דאיבני בחמיסר סמוך לשקיעת החמה והיא היא ואי קשיא דבלילה אינו נבנה דקי''ל בשבועות (דף טו:) דאין בנין בית המקדש בלילה דכתיב וביום הקים ולא בחמיסר שהוא י''ט דקי''ל בשבועות (שם) דאין בנין ב''ה דוחה י''ט ה''מ בנין הבנוי בידי אדם אבל מקדש העתיד שאנו מצפין בנוי ומשוכלל הוא יגלה ויבא משמים שנא' (שמות טו) מקדש ה' כוננו ידיך: