This is not correct behaviour. The קיצור ש''ע ילקוט יוסף brings down in סימן כט - סדר התפלות בבית האבל that:
יז: כשהקהל מתפללים בבית האבל אומרים פסוקי ''ובא לציון'' בשביל הציבור המתפלל עמהם. וכל שכן כשמתפללים בבית האבל במנחה של שבת, שאין לדלג הפסוקים ''ואני זאת בריתי'' וכו', כדי שלא להראות אבילות בפרהסיא בשבת, ורק האבלים עצמם שמתפללים בלחש, ידלגו פסוקים אלה גם בשבת. [ילקו''י אבלות מהדורת תשמ''ט עמוד קטו, ובמהדורת תשס''ד סי' כט עמ' תסד. יביע אומר חלק ד' דף שכ. חיו''ד סי' לב אות ז]
Basically, they always say the entire Uva LeTziyon - even in a mourner's house. Only the mourners - praying quietly - skip the first two verses.