The Chosom Sofer to Shemos 12:2, after citing the Ramban there:
וזה תוכחת מוסר שנכתב בהמכתבים וכדומה יום ראשון בשבת וחודש ראשון להעיד על בריית שמים וארץ
בששה ימים וינח ביום השביעי ועל יציאת מצרים ולא חס ושלום כמספרם של אומות העולם
And this is a rebuke that we should write in our letters and similar things "Day one of the Shabbos" and "First Month" to testify about the creation of Heaven and Earth in 6 days.. and on the exodus from Egypt, and not, Heaven forfend, [to count] with the numbers of the nations of the world.
And in Derashos Chosom Sofer Vol. 2 Drush L'Zayin Av 5570
נראה במנין שאנו מנין לבריאת עולם זוכרים אנחנו כי העולם מחודש וארץ ישראל ראוי לנו ואפילו הכי גלינו מארצינו,
ולא כאותם חדשים מקרוב המונים שכותבים בריש מגילתא מנין לידת משיח הנוצרים וכותב וחותם עצמו שאין לו חלק
באלקי ישראל אוי להם כי גמלו לנפשם רעה, בתורת ד' מאסו וחכמת מה להם
In the numbers that we count [of the years] from creation of the world we recall that the world was created from new... and not like those who have newly began to count at the top of their letters with the years since the Christian messiah, and they write and sign themselves as not having a portion with the G-d of Israel... and they have rejected the Torah of Hashem...
The Chosom Sofer himself wrote the secular date on occasion, but the Tzitz Eliezer explains that this was when there was some technical or official necessity to do so. In casual correspondence, however, he would not.
Get Poshut 127:30
ואפילו באגרות חול יראה דיש ליזהר שלא יכתבו אלא לבריאת עולם, לאפוקי מה שראיתי באגרות הבאות מהלועזים
היושבים בארץ לועז דמונין כמנין הנוצרים בשמות החדשים ובמנין השנים ואין נכון לעשות כן
And even in secular letters, it seems appropriate to be careful to only write the years from creation, not like what I have seen that people write the months and years of the Christian count.
The Maharam Shik (Yoreh Deah 171) wrote that writing the Christian date violates a Biblical prohibition of ושם אלהים אחרים לא תזכירו (Shemos 23:13). The Tzitz Eliezer suggested that this is only when the date is explicitly identified as being the Christian date. The Be'er Moshe 19:7, however, strongly maintains that this is clearly not what the Maharam Shik meant.
There are opinions who allow it, but I have attempted to lay out that there is reason to refrain from doing so.