The standard approach, as noted in various sources in Halacha (see articles here, and here, quoting the Piskei Teshuvah, and here in the name of Rav Ovadiah in Yalkut Yosef, although some disagree, see there) is to not repeat the Amidah at all.
This Dirshu article is the most thorough in its sourcing, actually citing commentaries and poskim on what to practically do, and they conclude that it is a Machlokes as well, whether to say two tefillos of Shabbos (Rav Chaim Soloveitchik and Rabbi Tzvi Pesach Frank, followed by Rabbi Chaim Kanievski), or not to repeat the Amidah (Sha'arei Teshuvah and Magen Avraham OC 108, followed by Rav Shlomo Zalman Auerbach and Rav Yosef Shalom Eliyashiv):
כד. שכח לומר טל ומטר במנחה בערב שבת, נחלקו האם מתפלל מעריב ב' פעמים [כיון דבין כך אינו מזכיר שם]. יש מדמים ליעלה ויבוא [כשר"ח הי' ביום שישי], דאינו חוזר כיון דא"א לעשות תנאי בשבת, דאין תפילת נדבה בשבת (שע"ת סי' קח, מג"א שם סקט"ז) וי"א דאינו דומה וחייב לחזור (הגר"ח בסטנסיל סי' א. שדת הר צבי א נד) ולמעשה י"א שלא יתפלל תפילת תשלומין כלל (הליכות שלמה פ"ח הערה 82 , הגרי"ש אלישיב. ועי' הסבר לזה בשיעורי הגרי"ש ע"מ ברכות מהרב ב.צ. קוק עמ' שיג) וי"א שיתפלל ערבית פעמיים (לגשמים בעיתם מהגר"ח קניבסקי)
This somewhat lomdish article discusses the issue in depth. Interestingly, it appears to suggest that a person should say Shemoneh Esrei on Friday night up to Birchas Hashanim (and possibly further), and say Vesein Tal Umatar during it, and then mention Shabbos, but this is not accepted customarily.