Perhaps this Midrash (Vayikra Rabbah 4:5) indirectly addresses your question:
תני ר' ישמעאל משל למלך שהיה לו פרדס והיה בו בכורות נאות והושיב בו המלך שומרים אחד חיגר ואחד סומא ואמר להן הזהרו על בכורות הנאות האלו לימים אמר חיגר לסומא בכורות נאות אני רואה בפרדס אמר לו סומא הבא ונאכל אמר לו חיגר וכי יכולני להלך אמר סומא וכי רואה אני רכב חיגר ע"ג סומא ואכלו את הבכורות והלכו וישבו להם איש במקומו לימים נכנס המלך באותו פרדס אמר להן היכן הם הבכורות הנאות אמר לו סומא אדוני המלך וכי רואה אני אמר לו חיגר אדוני המלך וכי יכול אני להלוך אותו המלך שהיה פיקח מה עשה להן הרכיב חיגר ע"ג סומא והתחילו מהלכין אמר להן כך עשיתך ואכלתם את הבכורות כך לע"ל הקב"ה אומר לנפש מפני מה חטאת לפני אמר לפניו רבון העולמים אני לא חטאתי הגוף הוא שחטא משעה שיצאתי ממנו כצפור טהורה פורחת באויר אני מה חטאתי לפניך אומר לגוף מפני מה חטאת לפני אמר לפניו רבון העולמים אני לא חטאתי נשמה היא שחטאה משע' שיצתה ממני כאבן שהושלך על גבי קרקע אני נשלך שמא חטאתי לפניך מה הקדוש ברוך הוא עושה להן מביא נשמה וזורקה בגוף ודן שניהם כאחד שנאמר (תהלים נ) יקרא אל השמים מעל וגו' יקרא אל השמים מעל להביא את הנשמה ואל הארץ להביא את הגוף לדין עמו
Translation from here:
A king had an orchard with fine fig trees. When the first fruits were about to ripen, he put two keepers in the orchard to keep out birds and thieves. One of the keepers was blind, the other was lame. After a time, the lame man said to the blind man, "I see some juicy figs just ripe for eating." Said the blind man, "Lead me to them, and we will eat." The lame man said, "I cannot walk." The blind man said, "I cannot see." Then the lame man got on the shoulders of the blind man, and they went and ate the figs, and returned to their places. Later the king came to the orchard, and asked, "Where are my figs?" The blind man said, "Can I see?" and the lame man said, "Can I walk?" But the king was clever. He placed the lame man on the shoulders of the blind man and made them walk. "This is how you did it," the king said.
So, in the World to Come, G-d says to the soul, "Why have you sinned?" The soul replies, "How could I have sinned? The body sinned. Since I left the body, I have flown about like an innocent bird in the air. What is my sin?" Then G-d says to the body, "Why have you sinned?" and the body replies, "I have not sinned; it is the soul which has sinned. Since the soul left me, I lie still, like a stone on the ground. How could I have sinned?" So what does G-d do? He puts the soul back into the body and judges the two together!"
Perhaps the "I" is a composite of the body and soul, and were they to be separated, that "I" would no longer exist.