I don’t have the sources in front of me, so I hope I am accurate. To my understanding there are basically two approaches. That of the Kabbalists and that of the rationalists. The Kabbalist (see Nefesh Hachaim most of shaar bes) looks at tefila not as a mechanism for “changing G-d’s Mind”, but rather as more of an act that sets certain machinery and mechanisms in motion. G-d decrees that things should be a certain way, when a person prays using various formulaic texts that person draws down shefa and more blessing into the world which causes real changes in the world and outcome of events. It is not as though if on eprays really hard than G-d is moved by the sincerity, but rather by saying certain words and having various intentions (kavanos) it causes metaphysical changes in reality.
The rationalist approach is what you allluded to in your question, that man changes himself. (My answer is primarily based on the approach of the Sefer Hachinuch on the Mitzvah of birchas hamazon and the tefila for Bikurim.) When man prays he is not influencing G-d, but rather influencing himself. As the Chinuch often states mans internal state of mind and beliefs are influenced by his external actions. To the extent that man turns to G-d in his hour of need and expresses and recognizes G-d as the source of all blessing and the only true power to that extent he will also feel it in his heart and truly believe that which he is saying. When one fully comes to the recognition of his utter dependency on G-d he is now a new individual worthy of a different judgement. Based on this, the actual text of the prayer is not as relevant as much as the effect it has on his internal beliefs and devotion.
I was able to look up the sources. See Nefesh hachaim shaar 2 chapters 2-4 in contrast to Sefer hachinuch mitzva 430. They both discuss the concept of saying Baruch and give diametrically opposed definitions. The Nefesh hachaim states that saying Baruch is coming to add (תוספת) to hashem. This creates higher degrees of shefa/influence that will the be filtered down to this world
זהו ענין הברכה לו יתב' בכל הברכות והתפלות שפירושו הוא תוספת ורבוי ממש כמשמעו כנ''ל. שזהו רצונו יתב' מטעם כמוס אתו ית'. שנתקן ונייחד על ידי הברכות והתפלות הכחות והעולמות העליונים. שיהו מוכנים וראוים לקבל שפעת קדושת אור עליון. ולהמשיך ולהוסיף בהם קדושת האור ורב ברכות מעצמותו יתב' המתחבר אליהם ומתפשט בתוכם וממילא יושפע זה התוספת ברכה והקדושה גם על עם סגולה שגרמו וסבבו לכל הכבוד הזה.
On the other hand the chinuch writes
כי באמרנו תמיד בברכות ברוך אתה השם או יתברך, אין המשמעות לפי הדומה, להוסיף ברכה במי שאיננו צריך לשום תוספת חלילה, כי הוא האדון על הכל ועל הברכות
נאמר שענין הברכה שאנו אומרים לפניו איננו, רק הזכרה לעורר נפשנו בדברי פינו..
כי הוא המבדך, ומברך יכלל כל הטובות, ומתוך ההתעוררות הטוב הזה בנפשינו ויחוד מחשבתינו להודות אליו שכל הטובות כלולות בו והוא המלך עליהם לשלחם על כל אשר יחפץ, אנו זוכים במעשה הטוב הזה להמשיך עלינו מברכותיו, ואחר הזכרה והודאה זו לפניו, אנו מבקשים ממנו מה