Moshe Rabbeinu, while he was grazing Yisro's flock, came to the area of Mt. Sinai, which shows that there was plenty of grazing fields out there in the wilderness (source pasted below).
The word "midbar" does not necessarily mean dry like the Sahara, it just means an area that is not settled, a "wilderness," but it could still have lots of grassy hills and fields.
Shemos ch. 3
וַיֹּ֙אמֶר֙ כִּֽי־אֶֽהְיֶ֣ה עִמָּ֔ךְ וְזֶה־לְּךָ֣ הָא֔וֹת כִּ֥י אָנֹכִ֖י שְׁלַחְתִּ֑יךָ בְּהוֹצִֽיאֲךָ֤ אֶת־הָעָם֙ מִמִּצְרַ֔יִם תַּֽעַבְדוּן֙ אֶת־הָ֣אֱלֹהִ֔ים עַ֖ל הָהָ֥ר הַזֶּֽה׃
And He said, “I will be with you; that shall be your sign that it was I who sent you. And when you have freed the people from Egypt, you shall worship God at this mountain.”
Rashi ad loc (see the text in bold):
רש"י על שמות פרק ג פסוק יב
ויאמר כי אהיה עמך - השיבו על ראשון ראשון ועל אחרון אחרון שאמרת מי אנכי כי אלך אל פרעה לא שלך היא כי אם משלי כי אהיה עמך וזה המראה אשר ראית בסנה לך האות כי אנכי שלחתיך ותצליח בשליחותי וכדאי אני להציל כאשר ראית הסנה עושה שליחותי ואיננו אוכל כך תלך בשליחותי ואינך ניזוק. וששאלת מה זכות יש לישראל שיצאו ממצרים דבר גדול יש לי על הוצאה זו שהרי עתידים לקבל התורה על ההר הזה לסוף ג' חדשים שיצאו ממצרים.