The source is Shaar HaKavvanot 86d:
במ"ט ימים אלו של ימי העומר לא היה מורי האריז"ל מגלח ראשו אלא בערב
שבועות ולא היה מגלח לא ביום ראש חודש אייר ולא ביום ל"ג בעומר בשום
אופן.
During the 49 days of the Omer my teacher the Arizal would not shave
his head except on Erev Shavuot, he would not shave on Rosh Chodesh
Iyyar and not on Lag B'Omer for any reason.
It is also brought in the Pri Eitz Haim, and the relevant piece is quoted on the same page of the Shaar HaKavvanot in the Haghaot and Biurim letter B, where it says:
בפע"ח בפ"ז וז"ל ד"ה מע"ח מורי ז"ל לא היה מסתפר מערב פסח עד ערב שבועות
כלל ועיקר לא בר"ח ולא בל"ג בעומר ואמר לי הטעם שלא לגלח בימים אלו כי
כבר ידעת כי יש תיקון אחד בגולגולתא והוא נקרא עמר נקי ויש תיקון ב'
הנקרא טלא דבדולחא. והנה ז"ס פ' והעומר עשירית האיפה כי עומר גי' ש"י
עלמין ומלא העומר מ"ן עומ''ר גי' ת' עלמין דירתין צדקייא ארבא מאות שקל
כסף וכן ב"פ עומר גי' כתר שהוא גולגולת והעמר נקי שהם השערות הם בכתר
והנה העומר עשירית האיפה הוא סוד אותיות פאה שהוא המלכות הנקרא אלקים
והיא מדה י' וזהו עשירית האיפה והנה ר"ע דורש סוד קוין אלו בסוד דורש
כתרי אותיות ולכן לפי שמתו תלמידיו אסור להסתפר בימים אלו כו' עכ"ל
Much of that purely Kabbalah which is forbidden to translate into English. However a simple rule of Kabbalah is that there is no sod(deeper meaning) where there is no pshat(simple meaning). At the very end the Ari brings the simple meaning, which I will translate:
Therefore because his[Rabbi Akiva] students died it is forbidden to cut hair during
these days.
In the same place(i.e. the next page in Shaar HaKavvanot) it is brought that this stringency further extends to all the practices of mourning with the exclusion of Lag B'Omer.
Rav Avner Apjin in his sefer Divrei Shalom vol 8 page 51 brings the halakhic reasoning. He first sources the Teshuva regarding the mourning customs of the Omer by Rav Sharira Gaon(1:1). He then brings the Teshuvot HaGeonim siman 278 in the name of Hai Gaon which says,
וששאלתם למה אין מקדשין ואין כונסין בין פסח לעצרת אם מחמת איסור או לאוץ
הוו יודעים שלא משום איסור הוא אלא משום מנהג אבלות. שכך אמרו חכמים
שנים עשר אלפים זוגים תלמידים היו לו לרבי עקיבא וכולם מתו בין פסח לעצרת
על שלא נהגו זה בזהץ ותני עלה וכולם מיתה משונה באסכרה, ומאותוה שעה
ואילך נהגו ראשונים בימים אלו שלא לכנוס בהן ומי שקפץ וכנס אין אנו
קונסין אותו, לא עונש ולא מלקות אבל אם בא לשאול לכתחילה אין מורין לו
לכנוס
Then he brings several Rishonim notably the Shevli Haleket 235, The Meiri on the Gemara in Yevamot(D"H Af al pi), the Shut HaTashbetz 1:178 and the Ramban(though he doesn't note the location of the Ramban) who note that the original minhag was to mourn the entire 49days even though we have since shortened it to 33.
However, as I noted in a previous question, the Arizal was hesitant with changes to the customs established Tannaim, Amoraim and Geonim feeling that the latter generations lacked sufficient Ruach HaKodesh to do so
One specific source is Shaar HaKavvanot Drush Nusach Tefilot p 50c:
דע לך כי מורי ז"ל לא היה אומר שום פזמון ושום פיוט ושום בקשה מאלו
שסידרו האחרונים כמו ר' שלומו בן גבריאל וכיוצא בו לפי שאלו האחרונים לא
ידעו דרכי הקבלה ואינם יודעים מה שהם אומרים וטועם בסדר דיבורם בלי ידיעה
כלל ובפרט פזמון יגדל אלהים חי וכו' ווידוי אשמנו באומר ובפועל וכו' ושאר
הוידוים של יום הכיפורים של רבינו נסים ורש"ט בן ארדוטיל ור' יצחק בן
ישראל שתיקנו בערבית בשחרית במוסף במנחה בנעילה לא היה אומרם כלל. אבל
היה אומר התפילות והבקשות והפזמונים שתיקנו הראשונים כמו תפלת ר' עקיבא
ותפלת ר' אלאזר בן ערך ותפלת ר'נחוניא בן הקנה לפי שכל אלו הראשונים
תוקנו הדברים על פי חכמת האמת והיו יודעים מה שתיקנו ואף אם הם באמצע
ברכות יוצר וישתבח היה אומרים לפי שהם היו תנאים והיו יודעים מה שהיו
מתקנים וכל דבריהם היו מיוסדים על פי דרך האמת