The Kaf HaChaim (262:17) quotes the Siddur Ya'avetz and a discussion from the Petach HaDevir (262:4) regarding the lofty Minhag of fathers and rabbanim to bless the young innocent children on Leil Shabbat as a means of releasing the Shefa Min HaShamayim on their actions and on others. He makes no mention of a specific Berachah, but perhaps the rationale presented is parallel enough to that of the well known idea that they act as the pipes for bringing Shefa down into the world:
רמב"ם הלכות תפילה ונשיאת כפים פרק טו הלכה יא
ואל תתמה ותאמר ומה תועיל ברכת הדיוט זה, שאין קבול הברכה תלוי בכהנים
אלא בהקדוש ברוך הוא
שנאמר ושמו את שמי על בני ישראל ואני אברכם, הכהנים עושים מצותן שנצטוו
בה והקב"ה ברחמיו מברך את ישראל כחפצו.
ילקוט יוסף תפילה ב הערות סימן קכח - הלכות נשיאת כפים הערה לה
בגמרא סוטה (לח א) ופסקוהו הפוסקים להלכה. וכתב רבינו בחיי (פר' נשא ו',
כג), ומה שהשליח צבור מקריא ברכת כהנים לכהן מלה במלה, כי כך דוגמתו של
כהן למעלה שהוא מתברך ומקבל הברכה מעצם הרחמים העליונים, ומברך לכנסת
ישראל. וזהו סוד מה שדרשו חז"ל, כל כהן המברך מתברך, שנאמר ואברכה מברכך.
וכן הברכה משתלשלת משליח צבור המתעטף בטלית לבנה לכהן, ומהכהן לישראל.
ע"כ. והכלי יקר הרחיב הדברים שם, שהחזן הוא בבחינת סרסור המושך שפע צינור
ממקור הברכות העליונות, שיחול על ראש הכהן תחלה, עד כדי שיהיה כלי מלא
ברכת ה', ולאחר מכן כשהכהן מברך את ישראל, הרי הוא כמריק מכלי מלא אל כלי
ריקן, ואלמלא היה החזן מקריא את הכהן תחלה, לא היה הכהן מתברך, ולא היה
לו מה להריק ברכה על ישראל. [וכמו שאמרו בזוה"ק (פר' יתרו) דברכתא דלעילא
לא שריא באתר ריקניא]...
See also Kaf HaChaim 128:271