You ask:
Does anyone hold like this today?
The Mishna Berura clarifies in 28:11:(38), this refers to the straps being white-side-out only to the section around the head and the first twist around the arm.
The straps hanging down the front and the rest of the strap wound around the arm , hand and finger are excluded from this Minhag of fasting/giving charity if they are white-side-out
לח) ולא יתהפכו - ואם נתהפכו מדת חסידות הוא להתענות או לפדות בצדקה ואין להקפיד שלא יתהפכו אלא מה שמקיף את הראש ואת הקיבורת פ"א אבל מה שכורך אח"כ וכן מה שמשתלשל לפניו מהרצועה של תש"ר אין צריך להקפיד כלל שלא יתהפך לפי שאינו מעיקר המצוה ומ"מ משום נוי המצוה ראוי להפוך שיהיה השחור לצד חוץ אפילו בהמותר:
I don't see anybody arguing that it doesn't apply.
You ask:
Does it make a difference that many tefillin straps are now black on both sides?
Yes. See the Mishna Berura in 33:4:(24) where he suggests that if a non-Jew painted the straps, one could paint the other side and show that side up until one finds better straps.
כד) פסול - כתב המ"א דאם חזר ישראל והשחירן לשמן כשר והביא ראיה לזה והפמ"ג ושארי אחרונים השיגו על ראיתו ונשארו בדין זה בצ"ע ונתן הפמ"ג לזה עצה אחרת שישחיר בצד השני של הרצועות לשמן דאף שהושחרו משני צדדים כשר כמבואר בס"ג ויהפך הצד שהושחר לשמן למעלה וכ"ז הוא אם אין לו רצועות אחרות וכמו שביארנו בבה"ל: