R' Ahron Marcus, the Hebrew linguist, wrote in his book Barzilai1 on the origins and identification of several of the Tanachic animals, among them the Re'em. He rejects the various identifications of his time - the unicorn, leucoryx, rhinoceros and the aurochs. Instead, he writes:
מן הרשימה בדברים (י"ד, ה') מסתבר, ששור הבר לא כונה מקודם "ראם", אלא "תאו". לוא התכוונו שם באמת לראם - לא היה מקומו חסר בין חיות הבר. קרוב לוודאי, שהמלה "ראם" היא צירוף של המלים: "ראם" ו"רם", כלומר - משהו בולט בגובהו. לכן מסתבר שהפיל כונה "ראם". וזאת על סמך הנימוקים הבאים: ראשית, קשה להניח, שבאוצר העשיר של השפה העברית, בה נקבעו שמות לבעלי חיים נדירים ביותר מאפריקה, ממרכז אסיה ומצפונה, יעדר דווקא שמו של הפיל, חיה מפורסמת מאד מאז הימים הקדומים ביותר. ושנית, הנימוק הקודם מתחזק על ידי התגלית, שהפיל חי בארם נהריים, כפי שמוכיחה כתובת התבליט של תגלת פילאסר הראשון (כ-2500 שנה לבריאת העולם), המתארת ציד פילים. זאת היא הארץ, שהיתה מולדתם הקדומה של אבות העברים, ולא יתכן שלא הכירו את הפיל. ועוד נימוק שלישי מתהילים (כ"ט, ו'). משורר המזמור משווה את "לבנון ושריון כמו בן ראמים". מן ההשוואה הזאת מתקבל כי הכוונה לחיה ענקית שגודלה כ"הר". ו"הר" גם קורא לפיל מטפלו ההודי, מתוך חיבה וכעס גם יחד. הקבלתן של קרני הראמים למלתעות אריה בפסוק: "הושיעני מפי אריה, ומקרני רמים עניתני" (תהילים כ"ב, כ"ב), מצביעה על שנהבי הפיל. השערה זו מסתייעת בדברי רבי מנחם די פאנו, שקרן היא בעצם שן, מפני שקרני הבהמה ממלאות את מקום הניבים במלתעותיה של חית הטרף, החסרים אצל אוכלי העשב.
Translation: From the list in Devarim (14:5) it seems, that the wild ox (Aurochs) wasn't called prior "Re'em", but "Teo". Were it meant to refer there to the Re'em - his place would not have been missing from among the wild animals. It is almost certain, that the word "Re'em" is a combination of the words: "Ra'am" and "Ram", meaning - something that stands out in its height. Therefore, it seems that the elephant was known as "Re'em". And this is based on the following reasons: First, it is hard to imagine, that in the rich treasury of the Hebrew language, in it were chosen names for the rarest of animals from Africa, Central Asia and north of it, would be missing of all things the name of the elephant, a very famous animal from the most ancient of days. And secondly, the previous reason is made stronger by the discovery, that the elephant lived in Aram Naharaim, as is proven by the embossed legend of Tiglat Pilasser I (about 2500 years to the creation of the world), that describes the hunting of elephants. That is the land, that was the ancient birthplace of the ancestors of the Hebrews, and it cannot be that they didn't know of the elephant. And another, third reason, from Tehillim (29:6). The poet of the song compares "Lebanon and Sirion like a child of Re'ems". From this comparison it is understood that it is refering to a giant animal whose size is like that of a "mountain". And "mountain" is how the elephant is called by Matphalo the Indian, from affection and anger alike. The parallelization of the horns of the Re'ems to the jaws of the lion in the verse: "Deliver me from a lion’s mouth; from the horns of Remim rescue me." (Tehillim 22:22), points to the ivory tusks of the elephant. This hypothesis is assisted from the words of Rabbi Menachem Di Fano, that a horn is essentially a tooth, because the horns of the cattle fill the place of the fangs in the jaws of the predator animal, that are missing by the herbivores.
tl;dr Re'em=elephant.
1 Originally published and available online in German under the title ""Barsilai" Sprache als Schrift der Psyche: Ebräisches Wurzel-wörterbuch", later translated into Hebrew by, among other people, one of his grandchildren, and published in 1983 by Mossad Harav Kook under the title "ברזילי: מסה בתולדות הלשון העברית", which is from where I brought the Hebrew quote from.
Update: I emailed Rabbi Slifkin with this info to ask his opinion on the matter. He wrote back to say that he thinks it's interesting, but he still leans toward the aurochs, because of how the verses always seem to compare the aurochs with the ox, especially for example Yesha'ayahu 34:7.