It seems that the basis for this practice is the view of the Rambam in Hilchot Tefillah 8:4: וכיצד היא תפלת הציבור יהיה אחד מתפלל בקול רם והכל שומעים. As already noted by Divrei Yirmiyahu, the Rambam implies that the concept of "tefillat ha-tzibbur" relates not to the silent tefillah of individuals praying simultaneously, but to the prayer of the sheliach tzibbur. Divrei Yirmiyahu also notes that the Rambam instituted in Egypt that the congregation should always pray along silently with the chazzan, which is in accordance with his view that the prayer of the chazzan is what creates tefillat ha-tzibbur. Rabbi Joseph B. Soloveitchik explained (Siddur Mesorat HaRav, p. 1212): "The individual, no matter how righteous, has no right to claim anything from God; God owes the individual nothing... The shaliah tzibbur on the other hand, prays on hehalf of the entire congregation..." R. Shternbuch, Mo'adim u-Zemanim, vol. 1, likewise notes the Rambam's position, according to which the primary "communal prayer" is the prayer of the chazzan.
R. Herschel Schachter, Nefesh HaRav, p. 126, records the following:
ונראה דחובת הציבור להתפלל "תפילת הצבור" אין זה רק בכדי שיצאו ידי חובת
קדושה, דאפילו אמר החזן "א הויכע קדושה", ושוב התפללו כולם בלחש,
מתחייבים שוב לראות שהש"ץ יחזור על התפילה בקול רם. ועי' רמ"א לסי' קכ"ד
ס"ב, שכשיש שעת הדחק ואין פנאי להש"ץ לחזור על התפילה ומתפללים "א הויכע
קדושה", שהצבור מתפללים עמו מלה במלה בלחש עד לאחר הקל הקדוש. [ועיי"ש
במשנה ברורה סק"ח, שאם אין השעה דחוקה כ"כ, שלא יתחילו הצבור רק לאחר
שאמר הש"ץ הקל הקדוש. ועיי"ש בכף החיים שדעת כמה אחרונים אינה כן.] ונראה
לבאר בדעת הרמ"א, שמן הנכון לומר קדושה באמצע השמונה עשרה שלו, ובשלמא
כשיש חזרת ש"ץ והיא נחשבת כתפילת הצבור, והיא מצטרפת לכל המנין, וחשיב
כאילו כולם ביחד הגישו תפילה אחת להקב"ה, דוגמת ציבור המגישים קרבן ציבור
אחד בעד כולם, הרי נמצא שאמרו קדושה באמצע "תפילת הצבור" שלהם. אך בשעת
הדחק שאומרים רק "א הויכע קדושה", בכדי שתהיה הקדושה באמצע השמונה עשרה
שלהם, בעינן בדוקא שיתחילו כולם להתפלל מלה במלה עם הש"ץ, וכן נהג
רבנו.
R. Schachter argues that Kedushah is supposed to be recited during Shemoneh Esreh. In a case where the chazzan recites chazarat ha-shatz in full, the tzibbur recites kedushah in the middle of Shemoneh Esreh through the "tefillat ha-tzibbur" of the chazzan. But in a case of "a heiche kedushah," the tzibbur should pray along with the chazzan for the first three berachot in order to have kedushah during the Shemoneh Esreh. R. Schachter records that this was in fact the practice of R. Joseph B. Soloveitchik (in accordance with the Kaf ha-Chaim, and against the Mishnah Berurah).
Although R. Moshe Feinstein, (Iggerot Moshe, Orach Chaim 3:9), maintains that praying with the chazzan does not constitute tefillah be-tzibbur, it seems that most acharonim argue, (as enumerated in Piskei Teshuvot, 90:14 note 175), based on the aforementioned Rambam.