Many commentaries address this question. A few explain that Yosef couldn't make a request for himself, either because he was embarrassed or because it was against the protocol, or that the request required special convincing of Pharaoh:
אל זקני ביתו כי הוא בוש לדבר לו על דברי עצמו
גדולי ביתו ומכובדיו ומנימוסי המלכים שהמבקש מהם אפילו המכובד שבמכובדים על צרכיו הפרטיים לא יבקש אלא על ידי (אמצעות של) שר משרת המלך
ואז דיבר יוסף אל בית פרעה שישתדלו עם פרעה שיתן לו רשות ללכת לקבור את אביו כאשר השביעהו
תמוה הדבר שיוסף למרות מעמדו הרם הגיש את בקשתו בדרך בלתי־ישירה נראה שיוסף לא היה בטוח שבקשתו תתקבל ולכן רצה לפנות בעקיפין קל יותר לשני הצדדים להתעלם מסירוב שניתן ונתקבל באמצעות צד שלישי
הדבר היה קשור כנראה לאיבה שרחשו המצרים כלפי זרים לא מצא חן בעיני המצרים שאיש נכרי על אחת כמה וכמה שהוא מכנען עמד בראש המדינה קבורת יעקב הזכירה לעם את מקום מוצאו של יוסף
However, most of the commentaries explain that something about Yosef's state of mourning/recent death of his father made it inappropriate or illegal to appear before Pharaoh:
ולמה לא נכנס הוא ר' יהושע דסכנין בשם ר' שמואל שאין אבל נכנס בפלטין של מלך
מה לאמר אלא כך אמר להם אתם ראויין לומר לו שאין אני ראוי לבוא לפלטין של מלך בבגדי אבל וכה"א כי אין לבא אל שער המלך בלבוש שק
ואבי אבא ז"ל נתן טעם לזה לפי שהוא כלומר יוסף היה אבל ואין ראוי מצד נימוס המלכים ליכנס לפניהם בבגדי אבילות
וקשה למה לא דיבר בעצמו וי"ל בעבור בגדי אבלות שהי' לבוש ואין לבא אל המלך בלבוש שק
והוא לא דבר כי לא בא אל שער המלך בבגדי אבל שהיה לבוש
כי אין לבוא אל שער המלך בלבוש שק
ולא דבר לפרעה עצמו כי אין לבוא אל שער המלך בלבוש שק ואבל (ראזנמילר) וכן במדרש אמרו שאין אבל נכנס בפלטין של מלך ואעפ"י שכבר עברו שלשים ימי הבכי הנה יוסף שעדיין היה עתיד לעלות לקבור את אביו יתכן שהיה עדיין לבוש לבושי אבל
כי כל זמן שלא נקבר אביו הרי הוא בכלל אונן ואינו ראוי להתראות את המלך
לשיטת רמב"ן אונן כ"ז שלא נקבר אסור לסוך ולרחוץ ולקשט וגם לרמב"ם דאונן שרי אין זה מדרך הנימוס וכבוד אביו לסוך וללבוש בגדי שררות כפי הראוי להיות בבואו אל המלך בעוד אביו מת מוטל לפניו לכן לא היה יכול לכנס אל פרעה לדבר עמו