B"H
There are posts about the age of the universe according to the Torah, but this question intends specifically to only ask:
Are are any sources that reveal what the opinion of Rabbi Moshe Feinstein is in this regard?
I am looking for primary sources of the opinion of Reb Moshe only, not personal opinions or other discussions.
That aside, even though this isn't the place for a generalized discussion, I'm just sharing this here to illustrate a reason for why one may initially think that he didn't believe the universe to be billions of years old (Igrot Kodesh, vol. 13, p. 143):
"...there are those who wish to interpret the statement of our Sages that “G‑d builds worlds and destroys them” — as well as the statements in Zohar and Kabbalistic works about primordial man — in the literal sense. In other words, that there was a physical man, and physical worlds, which were later destroyed. Only afterwards was our world created, which is now 5716 years old. This interpretation is indeed offered in several books, as well as in the works of some of the early Kabbalists.
In areas of Kabbala, as in all areas of Torah, there is only validity to opposing views until a ruling is reached and issued in accordance with the parameters of Torah discussion. Once a ruling is issued according to one opinion, only this opinion is considered true and valid with regard to practical decisions and actions. The same is true in this regard:
Until the Arizal, there was a discussion and debate. The Arizal, however, is considered authoritative on Kabbala by world Jewry, including both Ashkenazim (such as the Alter Rebbe and the Gaon of Vilna) and Sephardim. He clearly expressed his deciding view by saying that the intent was never that there was a physical world similar to the one that now exists, as a physical cosmos came about only in the current “Shemita cycle.”7 From the Torah’s perspective, one may no longer attempt to explain events (such as how Creation actually happened, etc.) in any manner at odds with his view."
Footnote 7 there points to Torah Ohr of Rabbi Shneur Zalman of Liadi, 51d. The relevant part reads:
דהנה איתא בס' התמונה (בהקדמה לתמונה ג' דכ"ז כ"ט ל"א) שזה העולם הוא שמיטה שניה ולפניה הי' ג"כ שמיטה אחת שהיתה נמשכת ממדת החסד והשמיטה דעכשיו (ר"ל שית אלפי שני דהוי עלמא וחד חרוב) הוא ממדת הפחד ולכן דרכיה חזקים וקשים ורעים כו'. דהיינו שהי' בה חורבן בית ראשון ושני כו'. משא"כ בשמיטה הראשונה שהיתה ממדת חסד היתה העבודה באופן אחר וגם התורה הי' באופן אחר יעו"ש והיו רק טוב וחסד כו' כך דעת ס' התמונה ואחריו נמשכו המקובלים האחרונים לדון מזה שמוכרח להיות עוד חמש שמיטות אחר שמיטה זו כי צ"ל ז' שמיטות כנגד ז' מדות עליונות כו' (וכמ"ש שם בסה"ת) אבל האריז"ל פליג ע"ז במה שלמדו שצ"ל עוד ה' שמיטות וגם בענין מה שעוה"ז הוא שמיטה שניה עם היות דס"ל ג"כ כן. ולכן פתחה התורה בבי"ת בראשית לומר שכבר היתה שמיטה א' ועכשיו היא שמיטה שני'. אבל פי' האריז"ל דאין הכונה לומר שהי' עולם גשמי כמו עוה"ז דעכשיו עם שמים וארץ גשמיים ודצח"מ כי זה לא הי' רק בשמיטה זו דוקא לבד וענין השמיטה שהיתה לפני זו הוא ענין עולם התהו דהיינו ענין ז' מלכין קדמאין דתהו שמתו שהוא ענין ספירות רוחניי' כנודע וענין שמיטה דעכשיו הוא ענין עולם התקון שנעשה אח"כ (ועיין בלק"ת פ' קדושים ובעמ"ה שער עולם התהו פמ"ו ד' כ"ה ע"א) וכנודע בכהאריז"ל
The מראי מקומות הערות וציונים on p. 167 states:
אבל האריז"ל פליג ע"ז: בשער מאמרי הרשב"י לאד"ר (מד, ב) בס' הלקוטים פ' כי תשא, שם פ' קדושים -- ראה ג'כ שיעור קומה להרמ"ק סי' פג, לבנת הספיר (ירושלים תרעג). וראה ד'ה ואתם הדבקים תרפד בארוכה.
Here are there references cited therein:
Based on the above, I would assume that Reb Moshe would also agree that the teachings of the AriZal have been accepted by all of Yisroel, and it is therefore incumbent to believe in the traditional age of the universe as expressed in the Hebrew calendar. However when discussing it with others his opinion wasn't clear to me. Accordingly, to reiterate:
I am looking for primary sources of the opinion of Reb Moshe only, not personal opinions or other discussions.