A contender for first use is Maasei Hashem by R. Eliezer Ashkenazi (Bereishis ch. 17), who lived from 1512-1585 (roughly the same as the Alshich). Maasei Hashem was first published in 1583, ten years before the Alshich:

עוד השמיענו נמשל עמוק נמשך מן המעשה הזה, כי האדם נברא בשני יצרים יצר הטוב ויצר הרע, ונברא מן החומר וניתן בו חלק אלוה ממעל היא הנשמה שעליה נאמר (בראשית ב, ז) נשמת חיים

Mateh Moshe, first published in 1591, writes:

כי הנשמה החשובה חצובה מתחת כסא הכבוד, חלק אלוה ממעל, נקרא פמליא שלמעלה, והגוף הנגוף הלז עפר מן האדמה נקרא פמליא שלמטה.

This phrase in reference to the soul also appears in numerous places in the Shach al haTorah, first published in 1605. While not the first source, it is worth noting that the Gra (Aderes Eliyahu, Bereishis 1:2) cites this in the name of רז"ל (our sages of blessed memory):

ורוח אלהים. הסכת ושמע כי כל הנמצאים למעלה מן הרקיע ואשר יגיע לנו מהם נקרבים ונסמכים למלת אלהים מפני שהם עושי דברו. בלתי פונים אל דבר מקביל רצונו. וכן ארון אלהים (ש"א ד') לפי שהוא דעת אלהים והמקיימים אותה עושים רצון אלהים. וכן ואדוני המלך כמלאך אלהים (ש"ב י"ט) כחכמת מלאך אלהים (שם י"ד) וכן אל שמעי' איש האלהים (מלכים א' י"ב) ויאמר אל איש האלהים (שם י"ג) הוא מונח על איש המיחד רעיוניו ומגמתו לעשות רצון אלהים. וכן רוח אלהים הוא הרוח השוכן למעלה מהרקיע אשר עלינו וזה שאמרו רז"ל שנשמת ישראל חלק אלוה ממעל. ביאורו שהוא חלק מה מרוח אלהים השוכן למעלה

The Ohr HaChaim (Bereishis 1) also uses this phrase:

בחינת הנשמות הקדושות הם בחינת אור התורה ובעל נפש הוא בעל תורה, והוא אומרו ויאמר אלהים יהי אור שהיא הנשמה שאורה רב להיותה חצובה מתחת כסא כבודו יתברך חלק אלוה ממעל שולחה ה' להאיר אל האדם לבל יטבע בטיט היצה"ר

Likewise, Ohr HaChaim (Shemos 20:20): כי כבר הודיענו הכתוב כי נפשות ישראל חלק אלוה ממעל דכתיב (דברים לב ט) חלק ה' עמו.

R. Yosef Yaavetz (c. 1440-1508) uses this phrase in his commentary on Avos 1:18:

ב' חלקים יש בנו, חלק המלאכים והוא השכל, וחלק אלוה ממעל, כי רוח מלפני יעטוף, והדבור שליח השכל, והמעשה שליח החלק האלהי, ושניהם צריכים לעבודת הש"י, הוא מה שאמר ואהבת את ה' אלהיך בכל לבבך הוא השכל, בכל נפשך המעשה המורה על החלק האלהי

Also prior to Alshich is Maasei Hashem by R. Eliezer Ashkenazi (Bereishis ch. 17), who lived from 1512-1585 (roughly the same as the Alshich). Maasei Hashem was first published in 1583, ten years before the Alshich:

עוד השמיענו נמשל עמוק נמשך מן המעשה הזה, כי האדם נברא בשני יצרים יצר הטוב ויצר הרע, ונברא מן החומר וניתן בו חלק אלוה ממעל היא הנשמה שעליה נאמר (בראשית ב, ז) נשמת חיים

Mateh Moshe, first published in 1591, writes:

כי הנשמה החשובה חצובה מתחת כסא הכבוד, חלק אלוה ממעל, נקרא פמליא שלמעלה, והגוף הנגוף הלז עפר מן האדמה נקרא פמליא שלמטה.

This phrase in reference to the soul also appears in numerous places in the Shach al haTorah, first published in 1605. While not the first source, it is worth noting that the Gra (Aderes Eliyahu, Bereishis 1:2) cites this in the name of רז"ל (our sages of blessed memory):

ורוח אלהים. הסכת ושמע כי כל הנמצאים למעלה מן הרקיע ואשר יגיע לנו מהם נקרבים ונסמכים למלת אלהים מפני שהם עושי דברו. בלתי פונים אל דבר מקביל רצונו. וכן ארון אלהים (ש"א ד') לפי שהוא דעת אלהים והמקיימים אותה עושים רצון אלהים. וכן ואדוני המלך כמלאך אלהים (ש"ב י"ט) כחכמת מלאך אלהים (שם י"ד) וכן אל שמעי' איש האלהים (מלכים א' י"ב) ויאמר אל איש האלהים (שם י"ג) הוא מונח על איש המיחד רעיוניו ומגמתו לעשות רצון אלהים. וכן רוח אלהים הוא הרוח השוכן למעלה מהרקיע אשר עלינו וזה שאמרו רז"ל שנשמת ישראל חלק אלוה ממעל. ביאורו שהוא חלק מה מרוח אלהים השוכן למעלה

The Ohr HaChaim (Bereishis 1) also uses this phrase:

בחינת הנשמות הקדושות הם בחינת אור התורה ובעל נפש הוא בעל תורה, והוא אומרו ויאמר אלהים יהי אור שהיא הנשמה שאורה רב להיותה חצובה מתחת כסא כבודו יתברך חלק אלוה ממעל שולחה ה' להאיר אל האדם לבל יטבע בטיט היצה"ר

Likewise, Ohr HaChaim (Shemos 20:20):

כי כבר הודיענו הכתוב כי נפשות ישראל חלק אלוה ממעל דכתיב (דברים לב ט) חלק ה' עמו

While not the first source, it is worth noting that the Gra (Aderes Eliyahu, Bereishis 1:2) cites this in the name of רז"ל (our sages of blessed memory):

ורוח אלהים. הסכת ושמע כי כל הנמצאים למעלה מן הרקיע ואשר יגיע לנו מהם נקרבים ונסמכים למלת אלהים מפני שהם עושי דברו. בלתי פונים אל דבר מקביל רצונו. וכן ארון אלהים (ש"א ד') לפי שהוא דעת אלהים והמקיימים אותה עושים רצון אלהים. וכן ואדוני המלך כמלאך אלהים (ש"ב י"ט) כחכמת מלאך אלהים (שם י"ד) וכן אל שמעי' איש האלהים (מלכים א' י"ב) ויאמר אל איש האלהים (שם י"ג) הוא מונח על איש המיחד רעיוניו ומגמתו לעשות רצון אלהים. וכן רוח אלהים הוא הרוח השוכן למעלה מהרקיע אשר עלינו וזה שאמרו רז"ל שנשמת ישראל חלק אלוה ממעל. ביאורו שהוא חלק מה מרוח אלהים השוכן למעלה

A contender for first use is Maasei Hashem by R. Eliezer Ashkenazi (Bereishis ch. 17), who lived from 1512-1585 (roughly the same as the Alshich). Maasei Hashem was first published in 1583, ten years before the Alshich:

עוד השמיענו נמשל עמוק נמשך מן המעשה הזה, כי האדם נברא בשני יצרים יצר הטוב ויצר הרע, ונברא מן החומר וניתן בו חלק אלוה ממעל היא הנשמה שעליה נאמר (בראשית ב, ז) נשמת חיים

Mateh Moshe, first published in 1591, writes:

כי הנשמה החשובה חצובה מתחת כסא הכבוד, חלק אלוה ממעל, נקרא פמליא שלמעלה, והגוף הנגוף הלז עפר מן האדמה נקרא פמליא שלמטה.

This phrase in reference to the soul also appears in numerous places in the Shach al haTorah, first published in 1605. While not the first source, it is worth noting that the Gra (Aderes Eliyahu, Bereishis 1:2) cites this in the name of רז"ל (our sages of blessed memory):

ורוח אלהים. הסכת ושמע כי כל הנמצאים למעלה מן הרקיע ואשר יגיע לנו מהם נקרבים ונסמכים למלת אלהים מפני שהם עושי דברו. בלתי פונים אל דבר מקביל רצונו. וכן ארון אלהים (ש"א ד') לפי שהוא דעת אלהים והמקיימים אותה עושים רצון אלהים. וכן ואדוני המלך כמלאך אלהים (ש"ב י"ט) כחכמת מלאך אלהים (שם י"ד) וכן אל שמעי' איש האלהים (מלכים א' י"ב) ויאמר אל איש האלהים (שם י"ג) הוא מונח על איש המיחד רעיוניו ומגמתו לעשות רצון אלהים. וכן רוח אלהים הוא הרוח השוכן למעלה מהרקיע אשר עלינו וזה שאמרו רז"ל שנשמת ישראל חלק אלוה ממעל. ביאורו שהוא חלק מה מרוח אלהים השוכן למעלה

The Ohr HaChaim (Bereishis 1) also uses this phrase:

בחינת הנשמות הקדושות הם בחינת אור התורה ובעל נפש הוא בעל תורה, והוא אומרו ויאמר אלהים יהי אור שהיא הנשמה שאורה רב להיותה חצובה מתחת כסא כבודו יתברך חלק אלוה ממעל שולחה ה' להאיר אל האדם לבל יטבע בטיט היצה"ר

Likewise, Ohr HaChaim (Shemos 20:20): כי כבר הודיענו הכתוב כי נפשות ישראל חלק אלוה ממעל דכתיב (דברים לב ט) חלק ה' עמו.