Per Sefer Lekach Chaim if someone can not afford to purchase a Mezuza for every door that requires one he should first place on the doors that are Biblically obligated in Mezuza Min HaTorah(as opposed to rabbinically obligated).
כשאין ידו משגת לקנות לכל חדרי הבית
מי שאין ידו משגת לקנות מזוזות לכל חדרי הבית אלא רק למקצתם, יקבע המזוזות קודם בחדרים שחיובם מן התורה ואח"כ בשאר החדרים, וכן מי שאין לו אלא מזוזה אחת יקבע המזוזה בפתח הבית, וכן מי שיש לו חדר בתוך חדר ואין לו אלא מזוזה אחת, יניח המזוזה בפתח החדר החיצוני
