Abudraham, in "Seder Shacharit shel Chol u-Ferushah", says( here, right column, lines 29-38):
וכשיגיע ש"ץ ל'מודים' וכורע,
כל העם שוחין ואומרין הודאה קטנה המתחלת כמו
כן ב'מודים', שאין דרך העבד להודות לרבו ולומר לו
'אדוני אחה' על ידי שליח, אלא כל אדם צריך לקבל בפיו
עול מלכות שמים, ואם יקבל על ידי שליח, אינה קבלה
גמורה, שיוכל להכחיש ולומר לא שלחתיו. אכל בשאר
התפלה, שהיא בקשה, יכול לתבוע צרכיו על ידי שליח,
שכל אדם חפץ בטובתו ולא יכחיש ויאמר 'לא שלחתיו',
וזהו שאמר דוד 'אמרתי לה׳ ה׳ אתה', אני בעצמי אמרתי
לו ולא על ידי שליח
In my translation:
And when the Shali'ach Tzibur reaches Modim and bows, all the people bow slightly and say a small Hoda'a which also starts with Modim, as it isn't the [proper] way for a servant to thank his master and say to him 'you are my master' through a messenger, but every man has to accept the Yoke of Heavenly Kingdom with his mouth, and if he accepts through a messenger, it isn't a complete acceptance, for he can deny [it] and say 'I did not send him', and this is what [is meant by what] David said 'I said to ha-Shem ha-Shem you are', I myself said to Him and not by messenger.